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北京市第五中学分校2025-2026学年度第二学期第二次阶段性练习九年级数学（零模）试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
4.不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出两个小球，恰好摸出1个红球和1个黄球的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点、，作直线交于点，连接．则下列说法中不正确的是（ ）
A. 是线段的垂直平分线 B.
C. D.
8.设，，，是反比例函数图象上的任意四点，给出下面四个结论
①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；④四边形不可能是正方形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.分式方程的解为 ．
12.某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下：
成绩
人数 10 15 25 30 20
根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为 人．
13.已知抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ．
14.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是 ．
15.在矩形ABCD中，CD=6，点E是DA边延长线上一点，AE=2，点F是AB边上一点，，连接EF并延长交BC于点G，则EG的长为 .
16.某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示：
项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独
参与奖 2 7 5 7 4 7 4
优秀奖 5 10 9 9 7 8 7
卓越奖 9 12 13 15 12 10 9
小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为 ，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
计算：．
18.(本小题3分)
解不等式组
19.(本小题3分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题6分)
如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接．
(1) 求证: 四边形是菱形；
(2) 若求菱形的面积．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A．
(1) 求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
22.(本小题3分)
每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放.某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了20%，而开车出行的人数比平时减少了10%，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人.求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数.
23.(本小题8分)
某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
(1) 邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：
软件 平均数 中位数 众数
甲 78 80
乙 78 72
根据以上信息，解答下列问题：
①的值为 ，的值位于乙款软件评分的第 组；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为 个；
(2) 邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
维度软件 维度1 维度2 维度3 维度4
甲 94 92 93
乙 91 93 93 92
①乙款软件的评分为 ；
②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为 ．
24.(本小题6分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE．
(1) 求证：BE与⊙O相切；
(2) 连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求 BF的长．
25.(本小题9分)
科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下：
(1) 补全表格（结果保留小数点后一位）；

(2) 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3) 根据以上信息，解决问题：
若装置比装置早启动了，则装置启动 时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为 （结果保留小数点后一位）；
在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取 实验物质（结果保留小数点后一位）．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点．
(1) 用含a的式子表示b，并求c的值；
(2) 已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）．
①若，，求H点坐标；
②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围．
27.(本小题7分)
如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点．
(1) ①依题意补全图形；
②求证：；
(2) 连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离．
(1) 如图，的半径为1，直线：．
①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ；
②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最大时，点的坐标为 ；
(2) 已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于过定点的某一条直线的映像点，直接写出的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】x≥﹣3
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】750
13.【答案】4
14.【答案】 /55度
15.【答案】10
16.【答案】16
58

17.【答案】解：原式

18.【答案】解：，
由①得，
由②得，
∴原不等式组的解集是．

19.【答案】解：∵，
∴，
∴
．

20.【答案】【小题1】
证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小题2】
解：，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
，
即，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．

21.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得 ，
∴该一次函数的表达式为，
令，得，
∴；
【小题2】
解：由题意得：当时，，
化简得：，
∵时，不等式要一直成立，
∴要小于的最小值，
∴，
∴.

22.【答案】平时骑自行车出行的有600人，平时开车出行的有400人．
23.【答案】【小题1】
80
3
180
【小题2】
92.2
91

24.【答案】【小题1】
证明：连接OC，
∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）．
∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD．
在△OCE和△OBE中，
∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，
∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切．
【小题2】
过点D作DH⊥AB，
∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴ ．
又∵， OB=9，∴OD=6．
∴OH=4，HB=5，DH=2 ．
又∵△ADH∽△AFB，∴ ，即，解得 FB= ．

25.【答案】【小题1】
【小题2】
解：如图，
【小题3】
或
或


26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
∴；
【小题2】
解：①∵，，
∴，，，
当时，，，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴；
②由（1）得，
∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴，
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
当时，在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当，即时，在范围内随的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
∵，
∴，
∴在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】
①解：如图，即为所求；
；
②证明：连接，
∵，，是的中点，
∴，，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转得到射线，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：，
证明如下：
延长至点H，使得，连接，如图所示：
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．

28.【答案】【小题1】



【小题2】
解：点P是关于过定点直线的映像点，关于过定点直线的对称圆为，由①可知，点P在上，
设定点为G，且，，
根据轴对称性质，得，且都在直线上，
故点T在以为圆心，以为半径的圆上，
的半径为，点P在上，
点在以为圆心，以为半径的内圆上或为半径的外圆上，
当外圆G与相切时，最小，此时最小，
设此时的切点为H，连接，
，
，
因为点，，，
轴，轴，且，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
解得．
当内圆G过点E时，最大，此时最大，
，
，
解得，
故，
，
当时即时，得，解得；
当时即时，得，解得；
综上所述，的取值范围为或．

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