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六中九年级模拟测试
数 学 试 卷
（本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间 120 分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共 30分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．2025的相反数是
1 1
A．﹣2025 B．2025 C． D． -
2025 2025
2．如图是由 5个相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是
A． B． C． D．
3．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点 O为圆心，OB为半径作弧，
弧与数轴的正半轴交点 P所表示的数是
A．2.2 B． 5 C．1 2 D． 6
4．如图，过正五边形 ABCDE的顶点 A作射线 AF，若 AF∥CD，则∠FAE的度数为
A．54° B．45° C．36° D．72°
3题图 4题图
5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
第 1页（共 8页）
6．下列计算正确的是
A．（a﹣2）（a+2）＝a2+4 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+xy+y2 D．（ab2）3＝a3b5
7．若关于 x的一元二次方程 x2﹣4x﹣c＝0有两个相等的实数根，则实数 c的值为
A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4
8．如图，菱形 ABCD的两条对角线交于点 O，BE⊥DC于点 E，若 AC＝6，BD＝8，则
BE的长是
24 48 12
A． B． C． D．4
5 5 5
9．某企业生产一批工艺品，为了尽快完成任务，实际每天生产工艺品比原计划多 200个．已
知实际生产 3000个工艺品与原计划生产 1800个所用的时间相同，若设原计划每天生
产 x个工艺品，则可列方程为
A． B．
C． D．
10．如图，菱形 OABC的边长为 2，点 C在 y轴的负半轴上，抛物线 y＝ax2过点 B．若
∠AOC＝60°，则 a为
1
A．1 B．﹣2 C． - D．﹣1
2
8题图 10题图
第二部分 非选择题（共 90分）
二、填空题（本题共 5小题；每小题 3 分，共 15 分）
1
11．要使得式子 有意义，则 x的取值范围是 ▲ ．
2 - x
第 2页（共 8页）
12．如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关 S1，S2，S3，中的任意 2个，能同时使 2
盏小灯泡发光的概率是 ▲
13．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点 A（0，3），B（﹣4，﹣1），C（4，0），
将△ABC的顶点 A平移至点 P（4，2）的位置后，那么点 C的对应点的坐标是 ▲
12题图 13题图
14．如图，点 A，点 B k 4分别位于反比例函数 y （k≠0）与 y 的图象上．连接 AB，
x x
若 AB⊥y轴，点 C为 x轴上一点．连接 AC和 BC，S△ABC＝3，则 k＝ ▲ ．
15．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点 A为圆心，小于 AC
1
长为半径作弧，分别交 AC，AB于点 D，E；②分别以点 D，E为圆心，大于 DE2 长
1
为半径作弧，两弧交于点 F，作射线 AF；③分别以点 B，C为圆心，大于 BC2 长为
半径作弧，两弧交于 M，N两点；④作直线 MN交射线 AF于点 P，交 CB于点 G，
交 AB于点 Q．若 AC＝6，BC＝8，则 PG的长为 ▲
14题图 15题图
三、解答题（本题共 8小题，共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16．（10 分）
1
（1）计算： 1 2025 2cos60 1 3 2 ； (2) 化简：
2 ．
第 3页（共 8页）
17．（本小题 8 分）
今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种 3棵，则剩余 20棵；如果每人
种 4棵，则还缺 25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵 30元，乙树苗每棵 40元．购买这批
树苗的总费用没有超过 5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
18．（本小题 8 分）
为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活
动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关
于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每 平均每 平均每场
场得分 场篮板 失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 ▲ （填“甲”或“乙”）；甲队员得
分的中位数为 27.5分，乙队员得分的中位数为 ▲ 分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），
且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队
员谁的表现更好．
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19. （本小题 8 分）
甲、乙两机器人从 A地出发，沿相同路线前往 B地（到达后停止运动），图中 y1，y2
分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程 y1，y2（单位：m）随甲出发的时间 x
（单位：min）变化的函数图象．
（1）A，B两地的距离为 ▲ m；
（2）分别求 y1，y2关于 x的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
（3）根据程序设定，当两机器人相距 200m时，两个机器人身上的反应器同时发光，求
出反应器同时发光时 x的值．
20.（本小题 8 分）
如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮 D向左牵引小船靠岸，已
知长绳CD段与水面EF平行，且岸边DE⊥EF，当长绳 AD段与水平方向的夹角α＝30°
时，船头 A离岸边 DE的距离 AH为5 3米，已知甲板 AB始终保持与水面 EF平行，
且到水面 EF的距离为 0.65米．
（1）求定滑轮 D到水面 EF的距离 DE；
（2）当小船受长绳牵引，船头 A 前进到点 G 处，此时长绳 DG 段与水平方向的夹
角 β＝53°，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到 0.1 米，参考数据：
sin53 4 3 4 , cos53 , tan53 )
5 5 3
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21.（本小题 8 分）
如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以 AC为直径作⊙O交斜边 AB于点 E．EF为
⊙O的切线，连接 EO并延长交 BC的延长线于点 D．
（1）求证：BF＝FC；
（2）若 AE＝OE＝2，求 BD的长．
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22.（本小题 12 分）
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如
AB BD
图 1，已知 AD是△ABC的角平分线，可证 AC CD 小慧的证明思路是：如图 2，过．
点 C作 CE∥AB，交 AD的延长线于点 E，构造相似三角形来证明．
图 1 图 2 图 3
（1）【初步探究】请参照小慧提供的思路：
AB BD
利用图 2证明： AC CD；
（2）【类比研究】类比上面的思路继续研究：
AB BD
如图 3，已知AD是△ABC一个外角的平分线， AC CD是否还成立？请说明理由；
（3）【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：
①如图 4，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边 BC上一点．连接 AD，将△ACD
沿 AD所在直线折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的 E 点处．若 AC＝1，AB＝2，
求 DE的长；
②如图 5，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线，AD的垂直平分
线 EF交 BC延长线于 F，当 BD＝3时，求 AF的长．
图 4 图 5
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23.（本小题 13 分）
定义：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，且两个交点都在坐标轴上，
则称这个二次函数为一次函数的轴点函数．
1 3
（1 2）若有三个函数：①y＝x2﹣1；②y＝（x﹣1）2+1，③ y - x x 12 2 ，则函数 ▲ 为函
数 y＝x﹣1的轴点函数；（填序号）
（2）已知函数 y＝x+3的图象与 x轴，y轴分别交于点A，C，其轴点函数 y＝ax2﹣（a+3）x+c
（其中 a＜0）与 x轴的另一个交点为 B（点 B在点 A的右侧）．
①求此轴点函数的解析式；
②若直线 AC上方的一点 P正好落在函数 y＝ax2﹣（a+3）x+c（其中 a＜0）的图象
PD 1
上，连 BP交 AC于点 D，当 BD 2时，求点 P的坐标；
1
（3）如图，函数 y x t2 （t为常数，t＞0）的图象与 x，y轴分别交于 M，C两点，
点 N在 x轴的正半轴上，且 ON＝OC．分别以线段 MN，MO的长度为长和宽，
1
在 x轴的上方作矩形 MNDE，函数 y x t2 的轴点函数 y＝mx
2+nx+t的顶点 P在
矩形 MNDE的边上．请直接写出 n的值．
备用图 （3）题图
第 8页（共 8页）
三模数学答案（2025.6.5）
一．选择题 1. A 2.A 3. B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.C 10.D
2
二．填空题 11. x＜2 12. 13. （8，﹣1） 14. ﹣2 15. 2
3
三．解答题
16. 1 1 2× 1（ ）原式＝﹣ ﹣ 2+2 3 +2
＝﹣1﹣1+2 3 +2
＝2 3． ----------------------------------------------------------------5 分
2 1+ 2 ÷ ( 1)
2
（ ）原式 ＝ 2 2( 2)
1 2( 2)＝ 2 ( 1)2
2
＝ 1． --------------------------------------------------------------------10分
17. 解：（1）设该班的学生人数为 x人，
由题意得：3x+20＝4x﹣25，
解得：x＝45．
答：该班的学生人数为 45人；------------------------------------------------4 分
（2）设购买甲种树苗 y棵，则购买乙种树苗（3×45+20﹣y）棵，
由题意得：30y+40（3×45+20﹣y）≤5400，
解得：y≥80，
∴y的最小值为 80．
答：至少购买了甲树苗 80棵．------------------------------------------------------8 分
18.解：（1）甲；29 --------------------------------------------------------------------2 分
（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．
----------------------------------------------5 分
（注：答案不唯一，合理即可，如：从得分中位数，最高分看，乙队都高于甲队，所以乙队员表现更好）；
（3）甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（﹣1）＝36.5．
乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（﹣1）＝38．
因为 38＞36.5， 所以乙队员表现更好．--------------------------------------8 分
19.解：（1）1000；-------------------------------------------------------------------------1 分
（2）设 y1关于 x的函数解析式为 y1＝k1x，
将（25，1000）代入得，1000＝25k1，
解得 k1＝40， ∴ y1＝40x，-------------------------------------------------------3 分
设 y2关于 x的函数解析式为 y2＝k2x+b，
将（5，0）和（15，1000）代入得：
5 2 + = 0 2 = 100
15 ， 解得 ，2 + = 1000 = 500
∴ y2＝100x﹣500；-----------------------------------------------------------------------5 分
（3）当乙未出发前，甲在乙的前面相距 200m时，
依题意得，40x＝200， 解得 x＝5， ---------------------------------------6 分
当乙在甲的前面相距 200m时，
35
依题意得，100x﹣500﹣40x＝200， 解得 x= 3 ，------------------------------7 分
当乙停止后，甲在乙的后面相距 200m时，
依题意得，1000﹣40x＝200， 解得，x＝20，
35
综上所述，x的值为 5或 或 20．--------------------------------------------------8 分
3
20.（1）∵AB∥EF，DE⊥EF，
∴AH⊥DE，
由题意，得： = 0.65 ， = 5 3 ，
∴ = 30° = 5 3 × 33 = 5 ，
∴DE＝DH+HE＝5.65m；
答：定滑轮 D到水面 EF的距离 DE为 5.65m；----------------------------------4 分
（2）由（1）知：DH＝5m，AH⊥DE，
在 Rt△AHD中，α＝30°，
∴ AD＝2DH＝10m，
在 Rt△DGH中，β＝53°，
∴ = 53° ≈
25
4 ，
∴AD﹣DG≈3.8m；
答：卡车向左移动了 3.8m．---------------------------------------------------------------8 分
21.（1）证明：连接 CE，
∵EF为⊙O的切线，∴∠OEF＝90°
∴∠OEA+∠BEF＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∵OA=OE ∴∠OEA＝∠A
∴∠BEF＝∠B
∴ FE＝BF
∵ AC为⊙O的直径，
∴ ∠AEC=∠BEC＝90°
∴ ∠BEF+∠FEC＝90°，∠B+∠FCE＝90°，
∴ ∠FEC＝∠FCE， ∴FE＝FC，
∴ BF＝FC．-----------------------------------------------------4 分
（2）解：∵AE＝OE＝2，OA＝OE，
∴ AE＝OA＝OE，
∵ △AOE是等边三角形，
∴ ∠A＝∠AEO＝60°，
∵ ∠AEC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
∴ ∠B＝90°﹣∠A＝30°，∠CED＝90°﹣∠AEO＝30°，
∴ ∠D＝∠AEO﹣∠B＝30°，
∴ ∠CED＝∠D，
∵ OA＝OC＝OE＝2，∴AC＝2OC＝4，
∴ CE= 2 2 = 42 22 =2 3，
∴ BC＝2CE＝4 3，CD＝CE＝2 3，
∴ BD＝BC+CD＝4 3 +2 3 =6 3，
∴ BD的长是 6 3．----------------------------------------8 分
22. （1）证明：如图 2，过点 C作 CE∥AB，交 AD的延长线于点 E，
∵ CE∥AB， ∴∠E＝∠DAB，∠B＝∠DCE，
∴ △ABD∽△ECD，

∴ = ，

∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DAC＝∠DAB，∴∠DAC＝∠E，
∴ CE＝AC，

∴ = ；------------------------------------------------3 分

（2）成立；理由如下：
过点 C作 CE∥AD，交 AB于点 E，如图 3，
∵ CE∥AD，
∴ ∠AEC＝∠DAF，∠ACE＝∠CAD，
已知 AD是△ABC的角平分线，即 AD是∠CAF的角平分线，
∴ ∠DAF＝∠CAD，
∴ ∠AEC＝∠ACE，∴ AC＝AE；

∵ CE∥AD， ∴ = ，


∴ = ；------------------------------------------------6 分

（3）①解：∵ 将△ACD沿 AD所在直线折叠，点 C恰好落在边 AB上的 E点处，
∴ ∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，

由（1）可知： = ，

又∵AC＝1，AB＝2，
2
∴ = = 2，
1
∴ BD＝2CD，
∵ ∠BAC＝90°，
在 Rt△ABC中，由勾股定理得： = 2 + 2 = 1 + 22 = 5，
∴ + = 5，
∴ 3 = 5， ∴ = 53 ，
∴ = 53 ；------------------------------------------------------------------------9 分
②解：∵∠BAD＝∠DAC，即 AD是∠BAC的角平分线，

∴ 由（1）可得： = ，

∵ AB＝6，AC＝4，BD＝3，
3 = 6∴ 4，∴CD＝2，
∵ AD的中垂线 EF交 BC延长线于 F，
∴ AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA，
∵ ∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴ ∠B＝∠FAC，

∵ ∠AFB＝∠CFA， ∴△FBA∽△FAC， ∴ = ，

又∵CF＝DF﹣CD＝AF﹣2，
6
∴ = ，
2 4
∴ AF＝6．------------------------------------------------------------------------12分
23. (1) ①③ ------------------------------------------------------------------2 分
(2）①∵y＝x+3的图象与 x，y轴分别交于点 A，C，
∴点 A（﹣3，0），C（0，3）
将点 A，C的坐标代入二次函数表达式得：
a＝﹣1，c=3
∴ 抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，-------------------------5 分
② 过点 P作 PH∥y轴交 AC于点 H，作 BN∥y轴交 AC于点 N，
由抛物线的表达式知，点 B（1，0），
当 x＝1时，y＝x+3＝4，即 BN＝4，
设点 P（t，﹣t2﹣2t+3），
则点 H（t，t+3），
∴ PH＝﹣t2﹣3t，
∵ PH∥y轴∥BN，
∴ △PHD∽△BND，
1 t 2 3t 1
∴ = = ∴ t 2 3t 2
2 4 2
解得： t1 1 ， t2 2 ∴ P（-2，3）或（-1，4）---------------------------10分
1
（3） 1 或 2 1 或 ． --------------------------------------------------------------------------------13 分
4
理由：由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形 MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当 m＞0时，轴点函数 y＝mx2+nx+t的顶点 P与
点 M重合，即 P（﹣2t，0），如图，
2 4 = 0
∴ = 2 ，2
∴n2﹣n＝0，且 n≠0，
∴n＝1；
当 m＜0时，轴点函数 y＝mx2+nx+t的顶点 P在 DE边上，即 P（x，2t），如图，
4 2 2 + = 0
∴ 4 2 ，
4 = 2
消去 m、t，得 n2+2n﹣1＝0，
解得：n=± 2 1，
∵函数 y＝mx2+nx+t的对称轴在 y轴左侧，
∴n与 m同号，即 n＜0，
∴n= 2 1，
当 m＜0时，轴点函数 y＝mx2+nx+t的顶点 P在 DN边上，即 P（t，s），如图，
4 2 2 + = 0
∴ ，2 =
∴n= 14
1
综上所述，n的值为 1或 2 1或 ．
4

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