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2026年春学期九年级第一次质量检测
数 学 试 卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1．2026的相反数是（ 　）
A．﹣2026 B． C．2026 D．
2．下列计算正确的是（ 　）
A．3a+4b＝7ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．3a2 （﹣a3）＝﹣3a5 D．4a6÷2a2＝2a3
3．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ 　）
A．3×10﹣5 B．3×10﹣4 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5
4．如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ 　）
A． B． C． D．
5．某公司20名员工年薪如下表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是（ 　）
年薪（万元） 30 20 12 10 7 5
员工数（人） 1 2 3 3 9 2
A．7万元 B．8万元 C．8.5万元 D．11万元
6．如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知∠1＝15°，那么∠2为（ 　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
第6题 第7题
7．如图，AC是⊙O的直径，∠ADB＝37°，则∠BAC＝（ 　）
A．67° B．60° C．53° D．45°
8．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度按逆时针方向匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：x），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是（ 　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
9．使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
10．因式分解：9﹣a2＝　 　 ．
11．在六张完全相同的卡片上，分别写有6种化学元素“氦（He），氖（Ne），氩（Ar）、氪（Kr）、氙（Xe）、氡（Rn）”，从中任意抽取一张，抽到卡片上写有元素“氖（Ne）”的概率是 ．
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ．
13．已知圆锥的底面圆半径为3cm，其母线长为6cm，则它的侧面积等于 　 cm2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，，则BC的长为 ．
第14题 第15题
15．如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（0，1），B（2，1），若双曲线与射线AB相交于点D，使A，B，D三点中的两点关于第三点对称，则k的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第二、三、四象限，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）
17．（6分）计算：（π﹣1）0．
18．（6分）解不等式组：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 　 　 人，扇形统计图中m的值为 　 　 ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校九年级有1200名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
21．（8分）数学老师在作业批改中，针对作业出现多处错误的同学设计了A，B，C，D四种过关训练卡片题组，让他们加强练习．这些卡片的背面、大小完全相同．
（1）小明从A，B，C，D四种过关训练卡片题组中任选一种，是A卡片题组的概率是 ；
（2）小明和小红分别从A，B，C，D四种过关训练卡片题组中随机各选一种，请用树状图或列表的方法求两位同学恰好抽到同种过关训练卡片题组的概率．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，AB＝10，求AD的长度．
23．（10分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：
（1）在AC边上找一点E，使得AE＝2CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在BC边上找一点F，使得BF＝2CF（不写作法，保留作图痕迹） ．
24．（10分）2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘察、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星．火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角∠DAC＝30°，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角∠DAB＝45°，若CD＝5千米，求CB的长．（结果保留根号）
25．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，“重阳节”来临之际，某班组织“情暖夕阳”慰问活动，计划给社区养老服务中心的老人们送上暖心慰问品．同学们准备购买两种糕点：软糯香甜的重阳糕和温润营养的山药糕．购买3盒重阳糕和2盒山药糕共需112元，1盒重阳糕的价格比1盒山药糕贵4元．
（1）重阳糕和山药糕的单价分别为多少元？
（2）班委购买糕点时，商店支持同学们的爱心活动，决定降价销售两种糕点．将重阳糕的单价降低了2m元，山药糕单价降低了m元，同学们分别用400元、360元购买了相同数量的重阳糕和山药糕，求m的值．
26．（12分）综合与实践
【阅读理解】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形．如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，图中构成了全等三角形，易证△ABD≌△ACE ；
【尝试应用】（1）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上，则线段BD和CE的数量关系及位置关系为 ；
【深入探究】（2）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，则AD，CD，BD的数量关系为 ，∠ADB的度数为　 　 ，请对上述所填结论给予证明（提示：可延长DC至点P，使DP＝BD，连接PB）；
【拓展延伸】（3）如图4，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，点F在射线BC上，DF＝EF，点F在BC的延长线上，过点E作EP∥BC交AB于点P．请探索当∠DFE与∠A满足什么数量关系时，AP＝2BD，并证明．
图4
27.（14分）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示，OA是垂直于水平地面的柱子，已知OA＝3m，AB是平行于地面OD的一根支架，拱门的最高点在点C处，测得，tan∠COD=2．
（1）求出图中支架AB的长度；
（2）从柱子OA上的点M处拉一条横幅到拱门的点N处(MN∥OD)，拉上横幅后，若要使身高是1.75m的小明不弯腰通过该拱门，横幅长度最多为多少米？
（3）小明想在毕业拱门顶部挂一盏高为0.5米的灯笼（如图2）．如图3，灯笼PQ与立柱OA的水平距离为m米，灯笼须在（2）中横幅的上方，底端（点Q）与横幅的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点P）与悬挂点（T点）的距离为d米．若1.5≤m≤2.6，0.3≤n≤0.4，求d的最小值．
图1 图2 图3

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