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八年级第一次单元检测数学试题
一．选择题（共 8小题，每小题 3分，共 24 分）
1．如果一个多边形的内角和等于外角和的 2倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角，过点 D作直线，分别交 AC 和 AB 于点 E，H．下列的
结论中一定不正确的是（ ）
A．∠B＞∠ACD B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A C．∠B+∠ACB＜180° D．∠HEC＞∠B
第 2题图 第 3题图
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E．若
∠E＝32°，则∠C的度数是（ ）
A．68° B．64° C．52° D．32°
4．到三角形三边距离相等的点应是三角形的三条（ ）
A．中线的交点 B．角平分线的交点 C．高所在直线的交点 D．边的垂直平分线的交点
2+x 2x 1
5．在下列解不等式 ＞ 的过程中，错误的一步是（ ）
3 5
A．去分母得：5（2+x）＞3（2x﹣1） B．去括号得：10+5x＞6x﹣3
C．移项得：5x﹣6x＞﹣3﹣10 D．系数化为 1得：x＞13
6．用反证法证明“a1，a2，a3，a4，a5都是正数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1，那么这五个数中至
1
少有一个大于或等于 ．”时，应先假设（ ）
5
1 1
A．这五个数都大于 B．这五个数都等于
5 5
1 1
C．这五个数都小于 D．这五个数中至少有一个大于或等于
5 5
3x + 1＞0
7．如图，观察图象，可以得出不等式组 的
0.5x 1＜0
解集是（ ）
1 1 1
A．x＜ B． ＜x＜0 C．x＞2 D． ＜x＜2
3 3 3
8．已知一次函数 y＝kx+b 中，x取不同值时，y对应的值列表如
下：
x … ﹣m2﹣1 2 3 …
y … ﹣1 0 n2+1 …
则不等式 kx+b＞0（其中 k，b，m，n为常数）的解集为（ ）
A．x＞2 B．x＞3 C．x＜2 D．无法确定
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二．填空题（共 8小题，每小题 3分，共 24 分）
9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB 于点 D，若 AD＝2，则 BD 的长度
为 ．
10．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边
形①和②的内角都是 108°，则正多边形③的边数是 ．
第 10 题图 第 11 题图第 9题图 第 12 题图
11．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上一点，且∠BAE＝25°，∠CDE＝65°，
AE＝2，DE＝3，则 AD 的长为 ．
12．如图，△ABC 中，AC＝27，AB 的垂直平分线交 AC 于 E，垂足为 D，△EBC 的周长为 50，
则 BC＝ ．
1
13．若关于 x的不等式（a﹣3）x＞1可化为 x＜ ，则 a的取值范围是 ．
a 3
14．若点（m﹣3，m+2）在第二象限，则 m的取值范围是 ．
15．如图，四边形 BCDE 中，∠C＝∠BED＝90°，∠B＝60°．延长 CD、BE，
得到 Rt△ABC，已知 CD＝4，DE＝2，则四边形 BCDE 的面积为 ．
5x + 2 ≤ 3x 4
16．已知题目：解关于 x 的不等式组 5 x □ ，其中“□”内的数＜
字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处数字的取
值范围是 ．
三．解答题（共 8小题，满分 72 分）
17（本题满分 4分）．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，请用尺规作图法，求作一个等边△CDE，
使得 D，E两点在 AB 边上．（保留作图痕迹，不写作法，注明结论）
18．（每小题 4分，共 16 分）
1 3x 1（1）解不等式： ＞3；
2
（2）解不等式：5x﹣6≤2（x+3），并把解集在数轴上表示出来．
x + 2＞0
（3）解不等式组： ．
2(x + 3)＞5x 3
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2x + 5 ≤ 3(x + 2)
（4）解不等式组： x 1 x ，并把解集在数轴上表示出来．
＜
2 3
19．（本题满分 6 分）如图，已知△ABC 中，BC＞AC，求证：∠BAC＞∠B．
证明：由 BC＞AC，可在 BC 上截取 CD＝AC，连接 AD。
……
请你完成证明过程。
20．（本题满分 6分）去年 6 月份初三（1）班同学毕业留念，拍一张宽幅彩色合影需支付
底片费及劳务费 58 元，冲印一张需 3.5 元，每名同学购买一张，全班同学再共同购买 6 张送
给母校留存，结果每位同学分摊的费用不超过 5元，参加合影的同学至少有多少人？
21．（本题满分 8分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 AB 上的一点，过点 D 作 DE⊥BC 于
点 E，延长 ED 和 CA，交于点 F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若∠C＝60°，BD＝4，EC＝6，求 AF 的长．
22.（本题满分 10 分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客 45 人的 A种客车若干辆，
则有 30 人没有座位；若租用可坐乘客 60 人的 B种客车，则可少租 6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用 A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用 A、B两种客车共 25 辆，要求 B种客车不超过 7辆，且每人都有座位，
则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若 A 种客车租金为每辆 220 元，B 种客车租金每辆 300 元，应该
怎样租车才最合算？
23.（本题满分 10 分）阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另
一个内角度数的 3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”．例如：某三角形三个内
角的度数分别是 108°，54°，18°，这个三角形就是一个“3倍角三角形”．反之，若某三
角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角
度数的 3倍．
（1）在△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，判断△ABC 是否是“3倍角三角形”，并说明理
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由；
（2）若某“3 倍角三角形”有一个角为 120°，求这个“3 倍角三角形”的最小内角的度
数；
（3）如图，点 D在△ABC 的边上，连接 DC，作∠ADC 的平分线交 AC 于点 E，且 DE∥BC．若
△BCD 是“3倍角三角形”，直接写出∠B的度数．
24．（本题满分 12分）我们曾研究过“函数 y＝2x﹣5 的图象上点的坐标的特征”，了解了
一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式 2x﹣
5＞0 的解集是函数 y＝2x﹣5 图象在 x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b＞0（或 kx+b＜0）的解集，是函数 y＝kx+b 图象在 x轴上方
（或 x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图 1，观察图象，一次函数 y＝kx+b（k＜0）的图象经过点 P（3，2），则不等式
kx+b＜2 的解集是 ．
（2）如图 2，观察图象，两条直线的交点坐标为 ；不等式 2x﹣1＞x+1 的
解集是 ．
【拓展延伸】：
1
（3）如图 3，一次函数 y1＝﹣x+1 和y2 = x 2的图象相交于点 A，分别与 x轴相交于点2
B 和点 C．
1 x 2＞ x + 1
①结合图象，直接写出关于 x的不等式组 21 的解集是 ．x 2＜0
2
②若在 y1＝﹣x+1 图象上有一动点 P，是否存在点 P，使得△BCP 为等腰三角形，若存在，
请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
第 4页（共 4 页）八年级第一次单元检测数学试题参考答案与评分标准
一．选择题（共 8 小题，每题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B D C D A
二．填空题（共 8 小题，每题 3 分，共 24 分）
9． 6 ．10. 10 ．11．__ 13__．12． 23 ．
26 3
13．a＜3 ．14． ﹣2＜m＜3 ．15． ． 16. □≤8 ．
3
二．作图题（本题满分 4 分）
17．
…………作图正确 3 分
△CDE即为求求作的等边三角形．…………4 分
三．解答题（共 7 小题，满分 68 分）
18．（每题 4分，共 16分）
1 1 3 1解：（ ） 2 ＞3，
去分母，得 2﹣（3x﹣1）＞6，
去括号，得 2﹣3x+1＞6，
移向，合并同类项，得﹣3x＞3，
化系数为 1，得 x＜﹣1；…………4 分
（2）5x﹣6≤2（x+3），
5x﹣6≤2x+6，
5x﹣2x≤6+6，
3x≤12，
x≤4，
第 1页（共 5 页）
∴该不等式的解集在数轴上表示为：
…………8 分
+ 2＞0①
（3） ，
2( + 3)＞5 3②
解不等式①，得 x＞﹣2，
解不等式②，得 x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．…………12 分
2 + 5 ≤ 3( + 2)①
（4） 1 ，
2 ＜ 3②
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示为：
…………16 分
19．证明：在 BC上截取 CD＝AC，连接 AD，
∴∠ADC＝∠DAC，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＞∠B，
∴∠DAC＞∠B，
∵∠BAC＞∠DAC，
∴∠BAC＞∠B．………………………………6 分
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20．解：设参加合影的同学有 x人，由题意得：
58+3.5（x+6）≤5x，
解得：x≥ 1583 ，
因为 x至少是 53，
答：参加合影的同学至少有 53人．………………………………6 分
21．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA（等量代换），
∴AD＝AF（等角对等边）；………………………………4 分
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
∵BD＝4，
1 1
∴ = 2 = 2 × 4 = 2，
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝BE+EC＝2+6＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣4＝4．
∴AF＝4．………………………………8 分
第 3页（共 5 页）
22.解：（1）设原计划租用 A种客车 x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用 A种客车 26辆，这次研学去了 1200人；………………………………3 分
（2）设租用 B种客车 y辆，则租用 A种客车（25﹣y）辆，
45(25 ) + 60 ≥ 1200
根据题意得： ≤ 7 ，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为 5，6，7，
∴该学校共有 3种租车方案，
方案 1：租用 5辆 B种客车，20辆 A种客车；
方案 2：租用 6辆 B种客车，19辆 A种客车；
方案 3：租用 7辆 B种客车，18辆 A种客车；………………………………7 分
（3）选择方案 1的总租金为 300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案 2的总租金为 300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案 3的总租金为 300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用 5辆 B种客车，20辆 A种客车最合算．………………………………10 分
23．解：（1）△ABC是否是“3倍角三角形”，理由如下：
在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝3∠C，
∴△ABC是“3倍角三角形”；………………………………2 分
（2）设其中一个内角为 x，另一个内角为 y，
①当 3x＝120°时，x＝40°，
∴y＝180°﹣120°﹣40°＝20°；
②当 y＝3x 时，则 x+3x+120°＝180°，
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解得 x＝15°；y=45°
综上所述：最小内角的度数为 20°或 15°；………………………………6 分
540
（3）36°或（ ）°．………………………………10 分
7
24. （1） x＞3；………………………………2 分
（2） （2，3），x＞2；………………………………6 分
（3）① 2＜x＜4；………………………………8 分
5 3 3 2 3 2 3 2 3 2②P（ ， 2）或（1+ 2 ， 2 ）或（1 2 ， ）或（4，﹣3）．………………………12 分2 2
第 5页（共 5 页）

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