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立才中英文学校2025—2026第二学期第一次月考
九年级数学科试卷
时长：90分钟 满分：120分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．小明同学把1000元压岁钱存入银行记作+1000元，开学买学习用品，需向银行取出300元，取出300元可以记作（　　）
A．+1000元 B．﹣1000元 C．﹣300元 D．+300元
2．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
3．计算：3÷的值为（　　）
A．1 B．3 C． D．9
4．青花瓷又称白地青花瓷，属釉下彩瓷，是用含氧化钴的钴矿为原料，在陶瓷坯体上描绘纹饰，再罩上一层透明釉，经高温还原焰一次烧成．下面四个瓷器中，主视图与左视图不同的一个是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，BC＝12，D、E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，DF＝1，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．16
6．如表，某次数学竞赛共有10道题，每道题答对得10分，答错或不答得0分，全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（　　）
人数 2 5 13 10 7 3
成绩（分） 50 60 70 80 90 100
A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80
7．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得∠ABC＝146°，则∠AOC的度数为（　　）
A．34° B．56° C．68° D．73°
8．某市一天中PM2.5的值y（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，则该市这天中 PM2.5的值最大是（　　）
A．10ug/m3 B．24ug/m3 C．28ug/m3 D．140ug/m3
9．如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，则cos∠DAF的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．分解因式3x2﹣3x＝　 　 ．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，△ADE∽△ACB，如果AB＝8，AE＝4，AD＝3，那么AC＝ 　 　 ．
13．若关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 　 ．
14．抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴为直线x＝　 　 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点O为边BC上一动点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，过AD的中点E作⊙O的切线EP，P为切点，则EP的最小值为 　 　 ．
三．解答题（16-18题，每小题7分，共21分）
16．解方程组：．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
四、解答题（19-21题，每小题9分，共27分）
19．类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用．
【特例感知】
观察下列等式：，．
（1）根据上述特征，计算；＝　 　 ．
（2）计算：＝　 　 ．
【尝试类比】
（3）已知一次函数为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设Rt△AOB的面积为Sm．
①S2＝　 　 ；
②求S2+S4+S6+ +S2024的值．
20．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°．
（1）在图2中，∠BCD＝　 　 ；
（2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm．
①∠ACD＝　 　 °；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，
21．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
五、解答题（22题13分，23题14分，共27分）
22．2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？
23．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x﹣3经过A，C两点．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）如图2，若点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，PF∥x轴分别交直线AC于点E，F，求EF的最大值；
（4）如图3，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向上翻折形成“W”图象，将直线AC向上平移m个单位长度得到直线l，若l与“W”图象有两个交点，直接写出m的取值范围．
立才中英文学校2025-2026学年度第二学期
九年级第一次月考数学测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D A A C D B A
二．填空题（共5小题）
11．3x（x﹣1）．12．6．13．k＜4．14．1．15．4．
三．解答题（每小题7分）
16．【解答】解：
由①得y＝2x﹣3③，
把③代入②得 3x+2（2x﹣3）＝8，
7x＝14，
x＝2，
把x＝2代入③得：y＝2×2﹣3＝1，
所以这个方程组的解是．
17．【解答】（1）证明：选小星：连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝BC，∴AE＝BC，
∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，
∴BE⊥CD；
选小红：连接CE，
∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∵BD＝BC，∴AE＝BC，
∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，
∴AB＝CE，∴DE＝CE；
（2）BF∥DE， 理由如下：
证明：如图，连接BE，CE，
∵四边形AEBC是矩形，∴CF＝EF，
∵BD＝BC，∴BF是△CDE 的中位线
∴BF∥DE，．
18．【解答】（1）证明：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，
D为⊙O上一点，连接CO．
∴OD＝OB，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SSS），
∴∠D＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DC，
∵OD为圆O的半径，∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：设OD＝OB＝x，
∵DE＝8∴OE＝8﹣x，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE2+BO2＝OE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
∴OD＝OB＝3，AB＝2OB＝6．
∵CB，CD是圆的切线，
设CB＝CD＝y，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，
∴y2+82＝（y+4）2，解得：y＝6，
∴BC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：．
19．
【解答】解：（1）；（2）；（3）①；
②∵，
∴S2+S4+S6+…+S2024＝＝＝．
20．【解答】解：（1）127°；（2）53°；
②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H．
在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈15×＝20（cm），
在Rt△FGH中，FG＝＝＝1（cm）
乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）．
21．【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上，
∴m＝1×3＝n×1，∴m＝3，n＝3，
∴反比例函数为y＝，点B（3，1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，解得，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝＝4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E（a，）（a＞1），
∵A（1，3），∴AD＝a﹣1，DE＝3﹣，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3﹣，
∴F（﹣2，4﹣a），
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，∴（﹣2）（4﹣a）＝3，
解得a＝6或a＝1（舍去），∴E（6，）．
22．【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
根据题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：月平均增长率为20%；
（2）设售价为每件y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，每天可售出20+2（100﹣y）＝（220﹣2y）件，
根据题意得：（y﹣60）（220﹣2y）＝1200，
整理得：y2﹣170y+7200＝0，
解得：y1＝80，y2＝90，
又∵要尽量减少库存，
∴y＝80．
答：售价应为每件80元．
23．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0）；
（2）将C（0，﹣3），A（3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴c＝﹣3，9+3b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（3）∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝45°，
∵PE∥y轴，PF∥x轴，
∴∠FEA＝45°，
∴EF＝PE，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则E（t，t﹣3），
∴PE＝﹣t2+3t，
∴EF＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，EF的最大值；
（4）由翻折可知，翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（﹣1，0），
当y＝x﹣3+m经过点B时，m＝4，此时有三个交点，
当﹣x2+2x+3＝x﹣3+m时，整理得x2﹣x+m﹣6＝0，
Δ＝1﹣4m+24＝0，解得m＝，此时有三个交点，
∴m＞或0＜m＜4时，l与“W”图象有两个交点．

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