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2026年中考一轮复习
5.2 与圆有关的位置关系
圆
第5章
“—”
1．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念．
2．了解三角形的内心与外心．
3．探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等．
1．点与圆的位置关系（设圆的半径为，点到圆心的距离为）
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
数量（与）的大小关系
2．直线与圆的位置关系（设圆的半径为，圆心到直线的距离为）
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系
3．切线的性质与判定
（1）判定切线的方法有三种：
①利用切线的定义，即与圆只有___________的直线是圆的切线；
②到圆心的距离等于________的直线是圆的切线；
③经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
一个公共点
半径
垂直
（2）切线的五个性质：
①切线与圆只有________公共点；
②圆心到切线的距离等于圆的________；
③切线垂直于经过切点的________；
④经过圆心垂直于切线的直线必过________；
⑤经过切点垂直于切线的直线必过________．
1个
半径
半径
切点
圆心
4．切线长定理
（1）经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长．
（2）过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________．
切点
相等
夹角
5．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为和，其中，圆心距为）
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点个数 0 1 2 1 0
与的关系
（注：两圆内含时，如果，则两圆是同心圆，是内含的一种特殊情况．）
6．三角形与圆
（1）不在同一直线上的三点________一个圆．
（2）三角形的外心：经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的________，外接圆的圆心叫作三角形的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形．外心到三角形三个顶点距离________．
（3）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的________，内切圆的圆心叫作三角形的________，这个三角形叫作圆外切三角形．内心到三角形________的距离相等．
确定
外接圆
外心
相等
内切圆
内心
三边
7．方法技巧
（1）已知切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点垂直于切线的直线必过圆心．
（2）判断一直线是否为圆的切线的方法：
①连半径，证垂直；②作垂直，证半径．
（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点．
（4）直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：
①若是的两条直角边，为斜边，则：直角三角形的外接圆半径．
②若是的两条直角边，为斜边，则：直角三角形的内切圆半径．
（5）圆的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．
A
B
D
A 基础达标练
D
B
B
B
A
7
2
B 强化提升练
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第五章 圆
5.2 与圆有关的位置关系
1．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念．
2．了解三角形的内心与外心．
3．探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等．
1．点与圆的位置关系（设圆的半径为，点到圆心的距离为）
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
数量（与）的大小关系
2．直线与圆的位置关系（设圆的半径为，圆心到直线的距离为）
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系
3．切线的性质与判定
（1）判定切线的方法有三种：
①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）切线的五个性质：
①切线与圆只有1个公共点；
②圆心到切线的距离等于圆的半径；
③切线垂直于经过切点的半径；
④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
4．切线长定理
（1）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长．
（2）过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
5．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为和，其中，圆心距为）
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点个数 0 1 2 1 0
与的关系
（注：两圆内含时，如果，则两圆是同心圆，是内含的一种特殊情况．）
6．三角形与圆
（1）不在同一直线上的三点确定一个圆．
（2）三角形的外心：经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形．外心到三角形三个顶点距离相等．
（3）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆外切三角形．内心到三角形三边的距离相等．
7．方法技巧
（1）已知切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点垂直于切线的直线必过圆心．
（2）判断一直线是否为圆的切线的方法：
①连半径，证垂直；②作垂直，证半径．
（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点．
（4）直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：
①若是的两条直角边，为斜边，则：直角三角形的外接圆半径．
②若是的两条直角边，为斜边，则：直角三角形的内切圆半径．
（5）圆的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．
■考点一 点、直线与圆的位置关系
◇典例1：（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系．根据圆与直线的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断交点个数．
【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离，
，
直线与相离，没有交点．
故选：A．
◆变式训练
1．（2026·河南周口·一模）已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________．
【答案】
【分析】根据点与圆的位置关系确定的取值范围，再找出范围内符合要求的正整数即可．
【详解】解：∵ 的半径为，，点在外，
∴，
∵点是上不含端点的点，，
∴可得，
∴点在外的正整数的值为：．
故答案为：．
2．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
(2)点M的坐标为 ；的半径为 ；
(3)点与的位置关系是点D在⊙M ；
(4)若E点的坐标为，求证：直线是的切线．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)内
(4)证明见解析
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，点和圆的位置关系，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识，掌握勾股定理的逆定理；
（1）弦的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）直接求出M，根据勾股定理求出即可得解；
（3）根据勾股定理求出，再和半径比较，根据点和圆的位置关系即可得解；
（4）设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为D，连接，作直线，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理即可证明，即可得证．
【详解】（1）解：用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）解：由图可知M点的坐标为，
，
圆M的半径是；
故答案为：，；
（3）解：，
，
，
∴点D在圆M内．
故答案为：内；
（4）证明：设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为D，连接，作直线，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
又∵为半径，
∴直线是的切线．
■考点二 切线的性质与判定
◇典例2：（2025·浙江·模拟）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，①正确；
②由图可知不一定；
∵为的切线，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴，③正确．
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______．
【答案】/60度
【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题．
【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，
直径是直角边的两倍，
，
，
垂直平分，
，
，
为半径，，
为切线，
为切线，
，
；
故答案为：．
2．（2025·江苏南京·中考）如图，是的对称中心，与相切于点．
(1)求证：直线是的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明；
(2)当与相切时，是菱形吗？说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)是菱形，理由见详解
【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答．
（2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
【详解】（1）解：左边同学的思路：
过点O作，连接，，如图所示：
∴，
∵是的对称中心，
∴三点共线，且，，
∴，
∵与相切于点，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵
∴直线是的切线；
右边同学的思路：
连接，并延长交于点F，如图所示：
∵是的对称中心，
∴三点共线，且，，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是切点，
即直线是的切线；
（2）解：是菱形，理由如下：
当与相切时，记切点为点，如图所示：
∵与相切于点．与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
■考点三 三角形的外接圆与内切圆
◇典例3：（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质、三角形的内切圆，根据正方形的性质及已知条件判断E为正方形的中心，为等腰直角三角形，根据等面积法即可求出内切圆的半径．
【详解】解：如图：
∵正方形的对角线互相垂直且平分，，为等腰三角形，
∴E即为正方形的中心，
∴为等腰直角三角形，
其中，
设的内切圆半径为r，周长为C，
则利用等面积法可得，
则，
故选：D．
◆变式训练
1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____．
【答案】/
【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过作于，于，于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵是的内心，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使．
(1)请直接写出的正切函数值，即______；
(2)求证：是的切线；
(3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果．
（2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论．
（3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
在中，，，，
∴．
（2）证明：如图，连接，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
是⊙的直径，
，
，
，即，
．
是的半径，
是的切线．
（3），理由如下：
如图，过点作，垂足为，与交于点，
，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算．
A 基础达标练
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（ ）
①相交；②相切；③相离
A．①②③ B．② C．①③ D．①②
【答案】D
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决．
【详解】设圆心O到直线l的距离为d，
根据题意，在直线l上存在一点P，使得，
因为垂线段最短，所以圆心O到直线l的距离，即，
又因为圆的半径，所以，
当时，直线l与相切；
当时，直线l与相交，
故直线l和的位置关系可能是相切或相交
故选：D．
2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，四边形是正方形，根据面积法求出内切圆的半径，进而可得的周长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，
由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
设内切圆的半径为r，
由，
得，
解得，
∴，
∴，
，
∴的周长
．
故选：B．
3．（2025·山东滨州·中考）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形ABCD，
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：或，
，，
令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，
内切于，
，
，
，
，
解得：，即的内切圆半径为2，
故选：B．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径．
本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值．
【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心，
∴，
由三线合一和勾股定理得，，
，
由勾股定理得，
解得，
如图，点为的内心，
，
∴，
∴
故选：B．
5．（2026·河北石家庄·一模）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，．
结论：是的切线．
结论II：若与相切于点，则的直径为．
下列说法正确的是（ ）
A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确
C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误
【答案】A
【分析】根据正多边形的性质得到每个圆心角的度数为，结合题意得到，由切线的性质即可判定结论I；根据切线的性质，矩形、正方形的判定和性质得到则，再证明，由此列式求解即可．
【详解】解：内接正九边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点是与的交点，则是的半径，
∴是的切线，即结论I正确；
若与相切于点，如图所示，连接，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，则，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的直径为，故结论II错误，
综上所述，结论I正确，结论II错误 ．
6．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________
【答案】
7
【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可．
【详解】已知的半径，
根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数，
因此可得的取值范围为,
该范围内的整数为，共个．
7．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________．
【答案】
【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可．
【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴圆心移动的距离为．
故答案为：．
8．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
【答案】
【分析】设圆心为，连接，根据切线的性质可得，根据切线长定理可得平分，利用邻补角定义求出的度数，进而求出的度数，在中利用锐角三角函数求出半径的长，最后利用圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设圆心为，连接
直线与圆相切于点
，即
根据切线长定理可知平分
在中，
圆形围栏的周长为（米）．
9．（2025·河南南阳·三模）如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得出和全等，可由三角形内角和得出，再由圆周角定理得出F在的外接圆上，进而求出BF的最小值和最大值即可．
本题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系，确定点F的轨迹是本题解题的关键．
【详解】解：作的外接圆，连接，延长交于G，如图：
是等边三角形，且，
，，
由旋转的性质得：，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点F在的外接圆上，
①当取最大值时，为直径，此时F与G重合，
为等边三角形，，
，
，
的最大值为；
②D在左侧，连接，如图：
，
当时，最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即最小值为；
故答案为：，
10．（2026·广西南宁·一模）如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接．
(1)求证：；
(2)，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)的长为5
【分析】（1）根据切线长定理得到，结合圆的特点，运用“边边边”证明即可求解；
（2）如图所示，连接交于点得到是线段的垂直平分线，即，，是的中位线，则，再证明，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵，
∴是线段的垂直平分线，即，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，即的长为5．
B 强化提升练
11．（2026·云南楚雄·一模）如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3．
(1)若，求点C和点B间的距离；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)②成立，见解析
【分析】（1）结合勾股定理求出，即可作答．
（2）先根据，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，得出，再分别证明，，故，结合F是的中点，得出，再运用等边对等角，以及，得，故，即是的切线；
（3）过点G作于点K，则，根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，得到，，，，证明，，，进而证明，得到，可知，证明为线段的垂直平分线，得到，由（2）可知，即．
【详解】（1）解：∵的半径为3，
∴，
连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
即点C和点B间的距离为的长度，即为；
（2）解：连接，如图所示：
∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
则，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴是的中线，
∵是的直径，
∴，
∵是的中线
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故，
∵是半径，
∴是的切线；
（3）解：②成立．
理由如下：
如图，过点G作于点K，则．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵的半径为3，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴点K为中点．
∵于点K，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
由（2）可知，
∴成立．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第五章 圆
5.2 与圆有关的位置关系
1．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念．
2．了解三角形的内心与外心．
3．探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等．
1．点与圆的位置关系（设圆的半径为，点到圆心的距离为）
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
数量（与）的大小关系
2．直线与圆的位置关系（设圆的半径为，圆心到直线的距离为）
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系
3．切线的性质与判定
（1）判定切线的方法有三种：
①利用切线的定义，即与圆只有________的直线是圆的切线；
②到圆心的距离等于________的直线是圆的切线；
③经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
（2）切线的五个性质：
①切线与圆只有________公共点；
②圆心到切线的距离等于圆的________；
③切线垂直于经过切点的________；
④经过圆心垂直于切线的直线必过________；
⑤经过切点垂直于切线的直线必过________．
4．切线长定理
（1）经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长．
（2）过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线平分两条切线的________．
5．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为和，其中，圆心距为）
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点个数 0 1 2 1 0
与的关系
（注：两圆内含时，如果，则两圆是同心圆，是内含的一种特殊情况．）
6．三角形与圆
（1）不在同一直线上的三点________一个圆．
（2）三角形的外心：经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的________，外接圆的圆心叫作三角形的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形．外心到三角形三个顶点距离________．
（3）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的________，内切圆的圆心叫作三角形的________，这个三角形叫作圆外切三角形．内心到三角形________的距离相等．
7．方法技巧
（1）已知切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点垂直于切线的直线必过圆心．
（2）判断一直线是否为圆的切线的方法：
①连半径，证垂直；②作垂直，证半径．
（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点．
（4）直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：
①若是的两条直角边，为斜边，则：直角三角形的外接圆半径．
②若是的两条直角边，为斜边，则：直角三角形的内切圆半径．
（5）圆的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．
■考点一 点、直线与圆的位置关系
◇典例1：（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
◆变式训练
1．（2026·河南周口·一模）已知的半径为，，是上一点（不含端点），设．请写出一个使点在外的正整数的值：___________．
2．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
(2)点M的坐标为 ；的半径为 ；
(3)点与的位置关系是点D在⊙M ；
(4)若E点的坐标为，求证：直线是的切线．
■考点二 切线的性质与判定
◇典例2：（2025·浙江·模拟）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
◆变式训练
1．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______．
2．（2025·江苏南京·中考）如图，是的对称中心，与相切于点．
(1)求证：直线是的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明；
(2)当与相切时，是菱形吗？说明理由．
■考点三 三角形的外接圆与内切圆
◇典例3：（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．
◆变式训练
1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____．
2．（2025·云南保山·模拟预测）如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使．
(1)请直接写出的正切函数值，即______；
(2)求证：是的切线；
(3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
A 基础达标练
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（ ）
①相交；②相切；③相离
A．①②③ B．② C．①③ D．①②
2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2025·山东滨州·中考）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北石家庄·一模）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，．
结论：是的切线．
结论II：若与相切于点，则的直径为．
下列说法正确的是（ ）
A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确
C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误
6．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________
7．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________．
8．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
9．（2025·河南南阳·三模）如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______．
10．（2026·广西南宁·一模）如图，过外一点作的两条切线，，切点是，，为直径，连接．
(1)求证：；
(2)，求的长．
B 强化提升练
11．（2026·云南楚雄·一模）如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3．
(1)若，求点C和点B间的距离；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由．
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