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高一数学
(120分钟 150分)
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知单位向量 a,b的夹角为 60°,则(a-b)·a=
A. B. C. D.1
2.在复平面内,复数 z=(m+2)+(m2-m-2)i对应的点在第二象限,则实数 m的取值范
围为
A.(-2,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-1,2) D.(-1,+∞)
3.在△ABC中,C=30°,b=2,c=x.若满足条件的△ABC有且只有两个,则 x的取值范
围是
A.(1, ) B.(1,2) C.(0, ) D.(0,2)
4.在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 =16,则△ABC外接圆
的半径为
A.4 B.2 C.8 D.16
5.记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,B=60°,b=2 ,a2+c2=3ac,则△ABC
的面积为
A.2 B. C. D.
6.在△ABC中,G为重心,AC=4,BG=2,则 · =
A.4 B.5 C.6 D.7
7.已知向量 a=(1,0),b= , ,若 t是实数,且 u=a+tb,则|u|的最小值为
A. B.1 C. D.
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8.在锐角△ABC中,角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c,底边 a与以其为底边的高长
度相等,则 tan Atan Btan C的最小值为
A. B.16 C.10 D.12
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 6分,选对但不全的得部分分,有选错的得 0分.
9.已知△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,A为锐角,2sin2A-cos 2A=0,a=2
,c=2 ,则
A.sin A= B.cos A=
C.b=8 D.b=6
10.已知复数 z满足(1+i7)z=5+i, 是 z的共轭复数,则下列结论正确的是
A.z的实部与虚部之积为-4
B.z的共轭复数为 2-3i
C.z在复平面内对应的点在第三象限
D.|z-2 |=
11.在△ABC中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 sin C+cos C=1-sin .若 a2
+b2=4(a+b)-8,则
A.sin C=
B.cos B=
C.a=2
D.c= +1
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分.
12.已知复数 z满足(z-1)i=1-i,则 z= .
13.设向量 a·b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则 a·b= .
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14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=6,S△ABC=3 ,asin C=ccos
A+ ,则 a= .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量 a=(1,3),b=(3x-1,x+1),c=(5,7),且(a+b)∥ (a+c).
(1)求|b|;
(2)若 c=ma+nb,求 m+n的值.
16.(15分)在锐角△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 =b+c .
(1)求角 C的大小;
(2)若 c=2,边 AB的中点为 D,求中线 CD的长度的取值范围.
17.(15分)在平行四边形 ABCD中,AB=2,AD=3,∠BAD= ,E为 CD的中点, =λ
(0≤λ≤1).
(1)若 · =- ,求实数λ的值;
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(2)求 · 的取值范围.
18.(17分)已知函数 f(x)=sin x- +m,将y=f(x)的图象的横坐标变为原来的 ,纵坐
标不变,再向左平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,且 y=g(x)在区间 ,
上的最小值为 1.
(1)求 m的值;
(2)在锐角△ABC中,若 g = ,求 tan A+tan B的取值范围.
19.(17分)在复平面内,复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为 (O为坐标原点),设|
|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转所得的角为θ,则 z=r(cos θ+isin θ),
此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:z1=r1(cos θ1+isin
θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则 z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].由棣莫弗定理导出了
复数乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*).
(1)将复数 z=-1+ i表示为三角形式;
(2)根据复数乘方公式,化简:(-1+ i)11.
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参考答案
1.C 由 a·b=1×1×cos 60°= ,则(a-b)·a=1- = .
2.B 因为复数 z=(m+2)+(m2-m-2)i在复平面内对应的点在第二象限,
所以 解得 m<-2,所以 m的取值范围为(-∞,-2).
3.B 当 bsin C4.C 设△ABC外接圆的半径为 R,由正弦定理可得 = = =2R,所以
= =2R=16,解得 R=8,所以△ABC外接圆的半径为 8.
5.D 由题意,b2=a2+c2-2accos B=2ac=8,所以 ac=4,
则 S△ABC= acsin B= ac= .
6.B 如图所示,设 AC的中点为 D.∵G为△ABC的重心,且 BG=2,∴BD=3,DA=2.
∵ = + , = + = - ,
∴ · =( + )·( - )= - =9-4=5.
7.C ∵a=(1,0),b= , ,∴a2=b2=1,a·b= .
∴ |u|=|a+tb|= = = ,当 t=- 时,|u|取得最小值 .
8.A 由 a=bsin C,得 sin A=sin Bsin C,则 sin(B+C)=sin Bsin C,故 sin Bcos C+cos
Bsin C=sin Bsin C.因为 B,C为锐角三角形的内角,所以 cos Bcos C≠0,所以 tan B
+tan C=tan Btan C,而 tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C= =tan Btan
C-1+ +2,因为 B,C为锐角三角形的内角,所以 tan B>0,tan C>0,故 tan Btan
C=tan B+tan C≥2 ,故 tan Btan C≥4.由对勾函数的性质可得 tan Btan C-1
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+ ≥ ,当且仅当 tan Btan C=4时等号成立,故 tan Atan Btan C的最小值为
.
9.AC 由题意得 2sin2A+2sin2A-1=0,即 4sin2A=1.因为 A为锐角,所以 sin A= ,A=
,结合余弦定理,可得 cos A= = ,即 b2-6b-16=0,解得 b=8.故选 AC.
10.BD 由(1+i7)z=5+i,得 z= = = =2+3i.对于 A,复数 z的虚部为 3,
实部为 2,实部与虚部之积为 6,故 A项错误;
对于 B,z的共轭复数为 2-3i,故 B项正确;
对于 C,z在复平面内对应的点为(2,3),位于第一象限,故 C项错误;
对于 D,z-2 =2+3i-2(2-3i)=-2+9i,∴ |z-2 |=|-2+9i|= ,故 D项正确.
11.BCD 由 sin C+cos C=1-sin ,得 2sin cos +1-2sin2 =1-sin ,
∴2sin cos -2sin2 +sin =0.∵C∈(0,π),∴ ∈ 0, ,∴sin >0,∴2cos -2sin
+1=0,即 sin -cos = ,∴ sin -cos 2=1-2sin cos =1-sin C= ,∴sin C= .又
sin -cos >0,∴ ∈ , ,则 C∈ ,π ,∴cos C=- =- .由 a2
+b2=4(a+b)-8,得 a2-4a+4+b2-4b+4=(a-2)2+(b-2)2=0,∴ 解得 a=2,b=2.由
余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=8-8× - =8+2 =( +1)2,∴c= +1,则 cos
B= = .
12.-i ∵(z-1)i=1-i,∴z= +1=-i.
13.3 ∵ |a+b|=4,|a-b|=2,∴(a+b)2=16 ①,(a-b)2=4 ②.
由①-②得 a·b=3.
14.2 因为 asin C=ccos A+ ,所以 sin Asin C=sin Ccos A+ .
因为 0即 sin A= cos A,所以 tan A= .因为 0第 6 页 共 9 页
所以 S△ABC= bcsin A= ×6c× = c=3 ,所以 c=2 .由余弦定理得 a2=b2
+c2-2bccos A=62+(2 )2-2×6×2 × =12,所以 a=2 .
15.解:(1)由题意得,a+b=(3x,x+4),a+c=(6,10).
因为(a+b)∥ (a+c),所以 30x=6x+24,解得 x=1,故|b|= =2 .
(2)c=ma+nb=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7),
即 解得 故 m+n=3.
16.解:(1)因为 =b+c× ,所以 = + ,
即 = = = .又因为 A,B∈ 0, ,所以 sin A≠
0,cos B≠0,所以 tan C=1,因为 C∈ 0, ,所以 C= .
(2)由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2- ab=4,又 = ( + ),
则 = ( + )2= ( + +2 · )= (a2+b2+ ab)= (4+2
ab)=1+ ab.
由正弦定理可得 = = =2 ,所以 a=2 sin A,
b=2 sin B=2 sin -A =2cos A+2sin A,
所以 ab=4 sin2A+4 sin Acos A=4 × +2 sin 2A=4sin 2A- +2 ,
由题意得 解得 ,所以 ab∈(4 ,4+2 ],
则 ∈(5,3+2 ],故中线 CD的长度的取值范围为( , +1].
17.解:(1)在平行四边形 ABCD中,AB=2,AD=3,∠BAD= ,建立如图所示的平面直
角坐标系,则A(0,0),D(3,0),B(1, ),C(4, ),又E为CD的中点,所以E , ,因为
=λ ,所以 F(3λ,0),则 =(3λ-1,- ).
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因为 · =- ,所以 ×(3λ-1)+ ×(- )=- ,解得λ= .
(2)由 = -3λ, ,所以 · =(3λ-1)· -3λ - =-9λ2+ λ-5=-9 λ- 2+ .
因为 0≤λ≤1,所以当λ= 时, · 取得最大值 ,当λ=0时, · 取得最小值-
5,故 · 的取值范围是 -5, .
18.解:(1)将函数 f(x)=sin x- +m的图象的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再向
左平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,则 g(x)=sin 2 x+ - +m=sin 2x
+ +m.
∵x∈ , ,∴2x+ ∈ , ,则当 x= 时,g(x)取得最小值,g(x)min=- +m=1,∴m=
.
(2)∵g =sin C+ + = ,∴sin C+ = ,∵△ABC为锐角三角形,∴C∈
0, ,则 = = = = .
∵△ABC是锐角三角形,∴ 解得 ∴ <2A- < , 19.解:(1)由题意得,当 z=-1+ i时,r=2,θ= ,故 z=2 cos +isin .
(2)(-1+ i)11= 2 cos +isin 11=211 cos +isin .
∵cos =cos 7π+ =-cos =- ,sin =sin 7π+ =-sin =- ,
∴211 cos +isin =211 - - i =-1 024-1 024 i,
故(-1+ i)11=-1 024-1 024 i.
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