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张家口市第一中学高二年级 4 月月考 7．已知函数 ，若 ，则 的大小关系
数学试卷 不可能是（ ）
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） A． B． C． D．
8．已知函数 ，关于 的方程 有且仅有 4个不同的实根，则实数 的取
1．已知集合 ，则 （ ）
值范围为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
2．已知 是定义在 上且周期为 2的偶函数，当 时， ，则 （ ）
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分）
A． B． C． D．
9．某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量 （单位： ）服从正态分布 ，且
3．已知函数 有唯一零点，则
， ．从该流水线上随机抽取 4件产品，这 4件产品中质量 在区间
A． B． C． D．1 上的件数记为 ，则（ ）
4．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A． B．
C． D．
10．已知 是定义在 R上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A． B．当 时，
A． B． C． D． C． 当且仅当 D． 是 的极大值点
11．定义在 上的函数 ，对 都有 ，且 ，则下列说
5．若 ，则（ ）
法正确的是（ ）
A． B．
A． B．数列 单调递减
C． D．
C． D．数列 的前 n项和为 ，则
6．已知定义在 上的函数 满足 ，若函数 与函数 的图象
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
的交点为 ， ，…， ，则 （ ） 12．若 a，b∈R＋，满足 a＋b＋3＝ab，则 a＋b的取值范围是________.
13．若直线 是曲线 的一条切线，则 _________.
A．8 B． C．12 D．
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14．已知函数 为奇函数，当 时， （ ），若 在 上单调递增，则 17．（本小题 15分）如图，直三棱柱 中， ， ．
的取值范围是______．
四、解答题
15．（本小题 13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了
1000人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
(1)证明： ；
未患该疾病 780 20 800
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 p，求 p的估计值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附 ，
18．（本小题 17分）已知 .
0.050 0.010 0.001 (1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围.
3.841 6.635 10.828
19．（本小题 17分）已知函数 ， ．
16．（本小题 15分）已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)当 时，证明： 在 上存在 2个不同的零点 ，且 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
(3)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
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张家口市第一中学高二年级 4 月月考
数学参考答案
1——8CACDDADA
9．ABD 10．ABD 11．ACD 12． 13． 14．
15．（1）根据表格可知，检查结果不正常的 人中有 人患病，所以 的估计值为 ；
（2）零假设为 ：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得， ，
则 ， ， ， ，
根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，
所以 ， ，
该推断犯错误的概率不超过 .
16．（1）由 ，①当 时， ，由 ，解得 ， 设 分别为面 的法向量，则 ，即 ，
当 时， ，②①-②得： ，即 ，
从而 ，又因为 ，且 也满足上式， 取 ，则 ，所以 ，
所以数列 是以 2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得 ，则
设 分别为平面 的法向量，则 ，
，从而 ，所以 ，
，令 ，①
即 ，取 ，则 ，
则 ，②①-②得：
， 则 ，所以 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
所以 ， 18．（1）当 时， ， ，
又 ， 则 ，故 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 .
所以 ．
（2）由题意得 ，
17．（1）不妨设 ，则 ， ，所以 ，所以 ，
因为棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ， 平面 ， 若函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
所以 ，又 ，所以 平面 ，因为 ，所以 ， 即 在 上恒成立，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 . 令 ， ，
（2）设 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ，
所以函数 的最小值为 ，所以 .
19．（1）由题意可知 ．
当 时， ， 在 上单调递减，
∴ ．
（2）当 时， ，即 ，可得 ，
答案第 1页，共 2页
令 ， ， ∴存在 ，使得 ，
令 ，由定义域为 ，可得 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以在 上单调递增， 当 时， ， 单调递减，
所以 ．
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 时 ， 时 ，
所以 在 上 2个不同的零点 ，即 在 上 2个不同的零点 ，
而 ， ．
设 ，令 ， ，
则 ， ∴当 时， ，即 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递减，∴ ， 而 ，∴ ，∴ ．
∴ ，即 ，又 ， ，
而 在 上单调递增， ，故 ．
（3）令 在 上恒成立．
记 ， ．则 ，
所以原不等式等价于 在 上恒成立．
可知 ，令 ， ．
当 时， ，即 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
∴ ，
当 即 时， ， 在 上单调递增， ，不等式恒成立；
当 即 时，存在 使得 ，
即存在 使得 在 上单调递减，在 上单调递增，
即在 上 ，不等式不恒成立．所以 ；
当 时， ， ， ，
可知 在 上单调递增，
， ．即 在 上有唯一解 ，
使得 ，即 时 ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
因为 ，
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