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重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高二下4月定时检测数学试题
一、单选题
1．直线经过点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函数的导函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ）
A．4 B．8 C．-4 D．-8
4．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球 篮球 排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（ ）
A．420 B．600 C．840 D．960
7．在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（ ）
A． B．0 C． D．1
8．已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知等差数列的前项和存在最小值，且，则下列说法正确的是（ ）
A．首项
B．
C．当时，取得最小值
D．时，最小为19
10．某校计划安排五位老师（包含甲 乙 丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲 乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种
B．若甲 乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种
C．若甲 乙 丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种
D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种
11．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数有唯一零点
B．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为
C．若对任意恒成立，则实数的取值范围为
D．记，则
三、填空题
12．函数在点处的切线方程是__________.
13．已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，若，则直线的斜率为__________.
14．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知函数，当时，有极小值0.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最值.
16．已知是数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．如图，在三棱锥中，与均是边长为的等边三角形，平面平面是棱上的动点.
(1)证明：；
(2)若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
18．已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，交椭圆于两点，弦的中点分别为.
（i）当时，求弦长；
（ii）当时，求面积的最大值.
19．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若对任意，求的取值范围；
(3)证明：对任意.
参考答案
1．B
2．D
3．A
4．C
5．B
6．A
7．D
8．A
9．BC
10．ABD
11．ACD
12．
13．/
14．
15．（1），，
当时，有极小值0，，
，，
，，
的解为或，
在上是单调递增函数；
的解为，
在上是单调递减函数，
在处取得极小值，满足题意，故；
（2），，，
又，在上的解为，
在上是单调递增函数；
在上的解为，
在上是单调递减函数；
在上的最小值为，
又，，
，在上的最大值为，
综上可知，在上的最小值为，最大值为.
16．（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，即，
则，由，得，
因此数列是首项为，公比为2的等比数列，
故，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则，
于是，
两式相减得
，
所以数列的前项和
17．（1）取中点, 连接、，
、为边长的等边三角形, ,
, , 且，
由, , , 得, 故为定长，
平面平面, 交线为, 平面且,
平面, 故，
由, , 得, ,
, ，
在中, , ,
, 由勾股定理逆定理得, 即.
（2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系：
，，，，设在上，，
故设，.
平面的法向量为，，，
设平面的法向量为，
则得，取，，
故.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
故两边平方得，
整理得，即，
解得（舍去），故.
，，平面的法向量，
，点到平面的距离：
.
18．（1）由椭圆的离心率，得，即，
又椭圆过点，则，联立解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）当时，直线的方程为，设，
由消去得，，则，
所以.
（ii）当时，直线的方程为，设，
由消去得，，而是弦的中点，
则，即，同理，
因此的面积
，
而，当且仅当或时取等号，
因此当或时，，
所以面积的最大值为.
19．（1）函数的定义域为，.
当时恒成立，函数在上单调递增，
当时，令得，
则当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）法1：当时，对任意，等价于当时，对任意成立，.
令，则大于的最小值或下确界，
，
则对任意恒成立，
所以函数在上单调递增，
又函数在时函数图象是连续的，且，
所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，
所以函数在上单调递增.
因为，所以.
法2：设，，则，，
若，则，故存在，使得，，
故在上为减函数，故恒成立，
故在上恒成立，与题设矛盾；
若，设，则，
故在上为增函数，故，
故在上为增函数，故，
故在上恒成立，故.
（3）左边是首项为、公比为的等比数列前项和，
即
右边是裂项求和结果.
由（2）结论，时对任意有，
令得变形得，
对累加得，即原不等式得证.

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