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河北邢台市第一中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试题
一、单选题
1．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知，，若与共线，则（ ）
A． B． C．1 D．5
3．如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则为纯虚数
10．如图，在中，与交于点，是的靠近的三等分点，是的中点，且有，，则（ ）
A．
B．
C．
D．过作直线分别交线段于点，设，（，），则的最小值为2.
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ）

A．若，则
B．若，则为的重心
C．若为的内心，则
D．若为的外心，则
三、填空题
12．已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________
13．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________.
14．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是______．
四、解答题
15．（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）已知向量，求在上的投影向量的坐标；
（3）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，求的最小值．
16．已知在中，角是的角平分线，且.
(1)若，求的长；
(2)若，求的面积.
17．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
18．已知的内角的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求锐角周长的取值范围.
19．已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
(1)试将写成三角形式；
(2)当时，求的最大值和最小值．
(3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，．
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．D
5．A
6．D
7．A
8．B
9．ACD
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）与的夹角为钝角，
，且与不平行，
，且，
又，且与的夹角为，
，且，且，
（2）由题意得，
则在上的投影向量是，
即在上的投影向量的坐标为．
（3）解：设，则，
是AB的中点，，
当时，取得最小值－8．
16．（1）因为所以，所以.
因为，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，即，解得.
（2）由知，，
由角平分线定理可知，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得.
在中，由余弦定理得，解得或，
当时，，，由得
，
解得，与矛盾，所以.
所以，，所以的面积为.
17．（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
，
，，则，
，.
（2）因为是中点，所以.
两边平方得 .
所以，即，
又由均值不等式得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
18．（1）由，
因为在中有，所以上式可化为，
又因为，所以，又因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，则周长可化为：，
，
由，且，
所以，即，
故锐角周长的取值范围为.
19．（1）设，
则，故，
故，其中.
（2）因为，故设，
故
，
因为，故，
故的最大值为3，此时，最小值为0，此时.
（3）设，则
，
但
，
故，.

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