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8.4.1平面
一．选择题
1．下列说法中，正确说法的个数为(　　)
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③一个平面的面积为6 cm2.
A．0 B．1
C．2 D．3
2．如图所示的位置关系用符号语言可表示为(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
3．下列图形中，不一定是平面图形的是(　　)
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
4．给出以下三个命题：
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③首尾依次相接的四条线段一定共面．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．(多选题)如图，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　)
A．点A B．点B
C．点C D．点D
6．已知α，β为平面，A，B，M，N为不同四点，a为直线，下列推理中错误的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN α，直线MN β
C．A∈α，A∈β，则α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β重合
7．(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O为B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面
D．B，B1，O，M四点共面
二．填空题
8．(生活中的立体几何)一个西瓜切3刀，最多能切出________块．
9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.
10．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．
三．解答题
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)线段AA1与CC1是否在同一平面内？
(2)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线．
12．若线段AB所在直线与平面α相交，P为直线AB外的任一点，且P α，直线AP，BP与α分别交于A′，B′.求证：不论点P在什么位置，直线A′B′必过一定点．
13．如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.求证：直线EH，BD，FG相交于一点．
8.4.1平面
一．选择题
1．C　解析：①②正确，③不正确．故选C．
2．A　解析：点可看成元素，直线与平面均为点的集合，因此n α，A∈m，A∈n，m∩n＝A，α∩β＝m.故选A．
3．D　解析：三角形的三个顶点不共线，因此三角形一定是平面图形；菱形有两组对边平行，梯形有一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形．故选D．
4．B　解析：对于①，若存在三点共线，则四点一定共面，故①正确；对于②，若A，B，C三点共线，如图1所示，A，B，C，D，E不共面，故②不正确；对于③，如图2所示的AB，BC，CD，DA顺次首尾相连，但四条线段不共面，故③不正确．故选B．
5．CD　解析：因为A∈α，A∈γ，B∈α，B∈γ，C∈β，C∈γ，D∈β，D∈γ，
所以点A在α与γ的交线上，点B在α与γ的交线上，点C在β与γ的交线上，点D在β与γ的交线上．
故选CD．
6．C　解析：对于A，由A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得a β，故A正确；
对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线MN α，直线MN β，故B正确；
对于C，由A∈α，A∈β，则平面α和平面β相交于一条经过点A的直线，故C不正确；
对于D，由A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得α，β重合，故D正确．
故选C．
7．ABC　解析：如图，
连接A1C1，AC，AO.因为O为B1D1的中点，所以A1C1∩B1D1＝O，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AO.
因为A1M∩平面AB1D1＝M，A1M 平面AA1C1C，所以点M是平面AA1C1C和平面AB1D1的交线上一点，
所以M∈AO，A，M，O三点共线，故A正确；
因为A，M，O三点共线，所以A，M，O，A1四点共面，A，M，O，C四点共面，故B，C正确；
取AC中点O1，连接OO1交A1C于点E，由题意得△A1OM∽△CAM，＝，
所以＝，即M为A1C的三等分点，因为O，B1，B不共线，O，B1，B∈平面BB1D1D，平面BB1D1D∩A1C＝E，E为A1C的中点，
所以点M 平面BB1D1D，B，B1，O，M四点不共面，故D错误．
故选ABC．
二．填空题
8． 8　解析：根据题意可知，把切的每一刀看成一个平面．如图，利用平面的基本性质和位置关系可知，先竖着沿β，γ两个不重合的平面切两刀到底，再横着沿平面α切一刀贯通，
这样可实现块数的倍增，此时得到的块数最多，为8块．
9．5　解析：由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．
10． 1或2或3　解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．
三．解答题
11．
解：(1)因为AA1∥CC1，
所以AA1与CC1可确定平面ACC1A1，
所以AA1与CC1在同一平面内．
(2)如图，OC1即为平面ACC1A1与平面BC1D的交线．
设AC∩BD＝O，连接OC1，则O∈平面ACC1A1，且O∈平面BC1D．
因为C1∈平面ACC1A1，且C1∈平面BC1D，
所以平面ACC1A1∩平面BC1D＝OC1.
12．证明：因为AP∩BP＝P，所以AP，BP确定平面β.
又因为A′∈AP，所以A′∈β.
同理可得B′∈β.
因为A′∈α，B′∈α，所以α∩β＝A′B′.
设AB∩α＝O，则O∈α，O∈β，
所以O∈A′B′，
即直线A′B′过定点O(AB与平面α的交点)．
13．
证明：如图，连接EF，GH.
由H，G分别是AD，CD的中点，得GH∥AC，且GH＝AC．
又＝＝，则EF∥AC，且EF＝AC，
所以GH∥EF，且GH≠EF，所以EH与FG相交．设交点为P，
又P∈EH，EH 平面ABD，
则P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD．
又平面ABD∩平面BCD＝BD，则P∈BD，
所以直线EH，BD，FG相交于一点．
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