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8.5.1直线与直线平行
一．选择题
1.“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(多选题)已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR可能等于(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
3.已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．以上均有可能
4．(多选题)下列命题中，错误的命题有(　　)
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
5．(多选题)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)
A．PQ＝MN
B．PQ∥MN
C．M，N，P，Q四点共面
D．四边形MNPQ是梯形
6．在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
二．填空题
8．一个正方体纸盒展开后如图所示，关于原正方体纸盒中的位置关系，有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
其中正确结论的序号为________.
9．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝　 .
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为___.
三．解答题
11．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求的值．
12．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．
(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；
(2)求梯形MNAC的面积．
13.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且
(1)证明:AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.
(2)求的值.
8.5.1直线与直线平行
一．选择题
1.B　解析：两条直线没有公共点 两条直线平行或异面，所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件．故选B.
2．AC　解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR＝30°或150°.故选AC.
3.D　解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面．故选D.
4．AC　解析：对于A，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故A错误．
对于B，由等角定理可知B正确．
对于C，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补．反例如图，在正方体中，∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B，C1D1⊥C1B，但是∠A1D1C1＝，∠A1BC1＝，二者既不相等也不互补．故C错误．
对于D，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故D正确．故选AC.
5．BCD　解析：由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，
所以PQ≠MN，故A错误；因为PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．故选BCD.
6．D
如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，
又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.
故选D.
7． D
分别与两条异面直线平行的直线不可能平行，否则，由基本性质4可得原来的两条异面直线平行，与两直线异面矛盾．但可以相交或异面．
二．填空题
8．①②　解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体．如图，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN与CD是异面直线，只有①②正确．
9． m　.
　连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD.∴MN=EF，EF=BD.
∴MN=BD.∴MN＝m.
10._①②__.
　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
三．解答题
11．
(1)证明：因为AA′与BB′相交于点O，所以AA′与BB′共面．
在△ABO和△A′B′O中，可得∠AOB＝∠A′OB′.
又因为＝，
所以△ABO∽△A′B′O，
所以＝，∠BAO＝∠B′A′O，
所以AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解：因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，
所以∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，因此△ABC∽△A′B′C′.
又＝＝，
所以＝2＝.
12．
(1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线．如图，则有MN綉A1C1.
又A1C1綉AC，所以MN綉AC，
所以M，N，A，C共面，且四边形MNAC为梯形．
因为Rt△AA1N≌Rt△CC1M，
所以AN＝CM，
所以梯形MNAC为等腰梯形．
(2)解：由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，
AC＝2，MN＝，
故梯形MNAC的高
h＝＝，
所以S梯形MNAC＝(AC＋MN)×h＝×(2 ＋)×＝.
13.
(1)∵AA'与BB'相交于点O,且,
∴AB∥A'B'.
同理AC∥A'C',BC∥B'C'.
(2)∵AB∥A'B',AC∥A'C',且AB和A'B',AC和A'C'的方向分别相反,
∴∠BAC=∠B'A'C'.
同理∠ABC=∠A'B'C',因此△ABC∽△A'B'C'.
又,
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