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8.5.2直线与平面平行
一．选择题
1.若直线l不平行于平面α，且l α，则下列说法正确的是(　　)
A．α内存在一条直线与l平行
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内所有直线与l异面
D．α内所有直线与l相交
2．已知α为平面，a，b为直线，则下列命题正确的是(　　)
A．a∥b，b α a∥α
B．a∥α，b α a∥b
C．a∥α，a∥b b∥α
D．a α，a∥b，b α a∥α
3．若直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b(　　)
A．共面
B．平行
C．异面
D．可能平行，也可能异面
4．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶3，H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形
B．EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形
C．HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形
D．HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形
5．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
6．在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP的更靠近P的三等分点，过点E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．9
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，BF∥平面ACE，则EF的长度为(　　)
A．2 B．
C． D．2
8．(多选题)在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有(　　)
A B
C D
9．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图2)，那么在以下3个结论中，正确结论的个数是(　　)
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.
A．0 B．1
C．2 D．3
10.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
二．填空题
11．若在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件________时，SC∥平面EBD.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是___.
13．如图四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件___时，SC∥平面EBD.
三．解答题
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
15．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
8.5.2直线与平面平行
一．选择题
1.B　解析：若α内存在一条直线与l平行，则由l α和线面平行判定定理可知l∥α，与已知矛盾，故α内不存在直线与l平行，故A错误，B正确；
如图，记l∩α＝A，当α内直线a过点A时，l与a相交，故C错误；
当α内直线b不过点A时，l与b异面，故D错误．
故选B.
2．D　解析：对于A，a∥b，b α，有可能a α，故A错误；
对于B，a∥α，b α，有可能a，b异面，故B错误；
对于C，a∥α，a∥b，有可能b α，故C错误；
对于D，由线面平行的判定定理可知D正确．
故选D.
3．D　解析：α∥β，说明a与b无公共点，
所以a与b可能平行也可能异面．
故选D.
4．B　解析：在平面ABD内，因为AE∶EB＝AF∶FD＝1∶3，
所以EF∥BD.
又BD 平面BCD，EF 平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
又在平面BCD内，
H，G分别是BC，CD的中点，
所以HG∥BD.所以HG∥EF.
又＝＝，＝＝，所以EF≠HG.
在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，
所以四边形EFGH为梯形．
故选B.
5．B　解析：
可借助正方体来判断．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；
运用反证法，假设b与α不平行，则有：
(1)b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾；
(2)b α，这与题设b α矛盾，故假设不成立，即b∥α.故命题③正确．
故选B.
6．B　解析：如图，在三棱锥P-ABC中，过E作分别作EF∥AB，EH∥PC，
再过点F作FG∥PC，连接HG，可得E，F，G，H四点共面．
因为AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.
同理可证PC∥平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH.
又由E为线段AP的更靠近P的三等分点，
所以EF＝AB，EH＝PC.又由AB＋2PC＝9，
所以 EFGH的周长为2·(EF＋EH)＝·(AB＋2PC)＝6.
故选B.
7.B　解析：正方体ABCD-A1B1C1D1，连接BD交AC于点O，连接OE，如图，
因为BF∥平面ACE，平面BEF∩平面ACE＝OE，BF 平面BEF，所以BF∥OE.
又EF∥BO，所以BOEF为平行四边形，
则EF＝BO＝.
故选B.
8．AB　解析：对于A，如图1，设P为AB的中点，底面为平行四边形BEFC，连接MP，PC，
图1
则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CF，BE＝CF，
故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，
故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，
故MN∥平面ABC，故A正确；
对于B，如图2，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接MP，PC，
图2
则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CF，BE＝CF，
故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，
故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，
故MN∥平面ABC，故B正确；
对于C，如图3，设底面为平行四边形BEFG，P为AE的中点，连接NP，PB，
图3
设NP交AC于H，连接BH，
则PN∥FE，PN＝FE，而FE∥GB，FE＝GB，
故PN∥MB，PN＝MB，
即四边形PNMB为平行四边形，故MN∥PB，
又MN 平面PNMB，MN 平面ABC，
平面PNMB∩平面ABC＝BH，
假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，
即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，故MN与平面ABC不平行，故C错误；
对于D，如图4，设底面为平行四边形ANEF，
连接AE，FN交于点H，FN交AC于点G，
图4
连接BH，BG，由于H为FN的中点，B为MF的中点，所以BH∥MN，
又MN 平面NMF，MN 平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，
假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，
即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，
故MN与平面ABC不平行，故D错误．
故选AB.
9．C　解析：如图，对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，所以四边形ABCF是平行四边形，
所以AF∥BC，
因为AF 平面BCD，BC 平面BCD，
所以AF∥平面BCD，故①正确；
对于②，取DF中点G，连接EG，CG，
因为E是AD中点，AF∥BC，AF＝BC，
所以EG＝BC，EG∥BC，
所以四边形BCGE为梯形，
所以直线BE与直线CG相交，
所以BE与平面CDF相交，故②错误；
对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，
因为四边形ABCF是平行四边形，
所以O是AC中点，所以OE∥CD，
因为OE 平面BEF，CD 平面BEF，
所以CD∥平面BEF，故③正确．
故选C.
10.D　解析：设AO交BE于点G，连接FG(图略)．因为O，E分别是BD，AD的中点，所以＝，＝.因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，所以＝＝，即λ＝3.故选D.
二．填空题
11． E为SA的中点　解析：当E为SA的中点时，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点．
又E是SA的中点，
所以OE是△SAC的中位线，
所以OE∥SC.
因为SC 平面EBD，OE 平面EBD，
所以SC∥平面EBD.
12． _l∥A1C1__.
[解析]　连接A1C1，则AC∥A1C1，∵AC 面A1B1C1D1，A1C1 面A1B1C1D1，
∴AC∥平面A1B1C1D1.
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，
∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，
∴l∥A1C1.
13．_SE＝AE__
[解析]　因为SC∥平面EBD，SC 平面SAC，平面SAC∩平面EBD＝OE，所以SC∥OE，又因为底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，故O为AC的中点，所以E为SA的中点，故当E满足条件：SE＝AE时，SC∥平面EBD.
三．解答题
14．
证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.
由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点．又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B 平面ADC1，OD 平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.
15．
解：如图，当D1为线段A1C1的中点时，＝1.
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
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