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浙教版数学七年级下册 4.2 提取公因式法 三阶训练
一、选择题
1．（2024七上·中山期中），在括号里填上适当的项应该是（　　）
A． B．
C． D．
2．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025七下·浙江期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·丰顺期末）利用因式分解计算（　　）
A．1 B．2023 C．2024 D．
5．（2024七下·邵东月考） 对于任意自然数n，代数式一定能被一个整数整除，那么这个整数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
6．（2024七下·蓝山期中）多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
7．计算，结果是（　　）
A． B．-2 C． D．-1
8．把多项式 分解因式时， 提取的公因式是 ，则 的值可能为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
9．（2011七下·广东竞赛）若实数 满足条件 ，则 中（　　）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反的数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不等
10．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题
11．（2025七下·双峰期中）已知，代数式　 　．
12．（2025七下·温州期中）已知，则代数式　 　.
13． 若 ， 则多项式 　 　
14．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为　 　.
15．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
三、解答题
16． 已知n为整数，代数式 的值一定能被12 整除吗 作出判断，并说明理由.
17．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是　 　 法，共应用了　 　 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是　 　
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是　 　
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C．
【分析】根据添括号法则逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①；
②；
③不能分解因式；
④不能分解因式；
其中含有因式的多项式为：①②，共2个，
故选：B．
【分析】 先对所给四个多项式 进行因式分解（提公因式法、公式法）即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=；
故答案为：D.
【分析】根据提公因式的概念判断即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=2023×1
=2023
故答案为：B
【分析】提公因式计算即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=n2+5n-(n2-n-6)=6n+6=6(n+1)，一定能被6整除
答案：C
【分析】去掉括号可得6(n+1)，即可判断.
6．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，
多项式的公因式是 .
故答案为：A.
【分析】找出每一项中共同的因式即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据式子结构先提公因式，后辅助积的乘方运算法则计算即可得出结果.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x2y5-xynz分解因式时，提取的公因式是xy5，
∴n的值应该≥5，
∴n的值可能是6.
∴正确答案选：A.
【分析】由题意可知，n的值一定是一个大于或等于5的正整数，而选项中符合条件的只有6，所以知道正确选项为A.
9．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；因式分解﹣提公因式法；等式的基本性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解： ，所以必有两个数互为相反数。
故答案为：选B
【分析】此题首先去分母并整理使方程右边为0，然后将方程的左边分解因式，得出（a+b）（a+c）（b+c）=0，再根据有理数的乘法，几个数相乘等于0，至少有一个为0即可得出结果。
10．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
11．【答案】2025
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【分析】先利用完全平方公式进行展开，再整体代入求值即可．
12．【答案】21
【知识点】因式分解﹣提公因式法；多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
=
=
将 代入上式得：
原式=2×5+11=21；
故答案为：21.
【分析】通过多项式除以单项式及因式分解将代数式化简，再将已知条件代入计算即可得出答案.
13．【答案】3
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
结合条件，可进一步化简成2c-a-b=3.
故答案为：3.
【分析】按规律整理式子后对每一组进行因式分解，先代入条件算出每个括号，继续代入算出最终值.
14．【答案】1800
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∵x+y>0，x+2y>0，
∴x=2y.
又由题意可得x+y= 90，
解方程组
解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)，
故答案为：1800.
【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可.
15．【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
16．【答案】解：（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除，理由如下：
∵（n+5）2-（n-1）2=n2+10n+25-n2+2n-1=12n+24=12（n+2），
又∵n为整数，
∴（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除.
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先把（n+5）2-（n-1）2利用完全平方公式展开，合并同类项为12n+24=12（n+2），由于n为整数，所以（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除.
17．【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
1 / 1浙教版数学七年级下册 4.2 提取公因式法 三阶训练
一、选择题
1．（2024七上·中山期中），在括号里填上适当的项应该是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C．
【分析】根据添括号法则逐项进行判断即可求出答案.
2．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①；
②；
③不能分解因式；
④不能分解因式；
其中含有因式的多项式为：①②，共2个，
故选：B．
【分析】 先对所给四个多项式 进行因式分解（提公因式法、公式法）即可.
3．（2025七下·浙江期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=；
故答案为：D.
【分析】根据提公因式的概念判断即可得出答案.
4．（2024八下·丰顺期末）利用因式分解计算（　　）
A．1 B．2023 C．2024 D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=2023×1
=2023
故答案为：B
【分析】提公因式计算即可求出答案.
5．（2024七下·邵东月考） 对于任意自然数n，代数式一定能被一个整数整除，那么这个整数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=n2+5n-(n2-n-6)=6n+6=6(n+1)，一定能被6整除
答案：C
【分析】去掉括号可得6(n+1)，即可判断.
6．（2024七下·蓝山期中）多项式的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，
多项式的公因式是 .
故答案为：A.
【分析】找出每一项中共同的因式即可得到答案.
7．计算，结果是（　　）
A． B．-2 C． D．-1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据式子结构先提公因式，后辅助积的乘方运算法则计算即可得出结果.
8．把多项式 分解因式时， 提取的公因式是 ，则 的值可能为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵x2y5-xynz分解因式时，提取的公因式是xy5，
∴n的值应该≥5，
∴n的值可能是6.
∴正确答案选：A.
【分析】由题意可知，n的值一定是一个大于或等于5的正整数，而选项中符合条件的只有6，所以知道正确选项为A.
9．（2011七下·广东竞赛）若实数 满足条件 ，则 中（　　）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反的数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不等
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；因式分解﹣提公因式法；等式的基本性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解： ，所以必有两个数互为相反数。
故答案为：选B
【分析】此题首先去分母并整理使方程右边为0，然后将方程的左边分解因式，得出（a+b）（a+c）（b+c）=0，再根据有理数的乘法，几个数相乘等于0，至少有一个为0即可得出结果。
10．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
11．（2025七下·双峰期中）已知，代数式　 　．
【答案】2025
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：2025．
【分析】先利用完全平方公式进行展开，再整体代入求值即可．
12．（2025七下·温州期中）已知，则代数式　 　.
【答案】21
【知识点】因式分解﹣提公因式法；多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
=
=
将 代入上式得：
原式=2×5+11=21；
故答案为：21.
【分析】通过多项式除以单项式及因式分解将代数式化简，再将已知条件代入计算即可得出答案.
13． 若 ， 则多项式 　 　
【答案】3
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
结合条件，可进一步化简成2c-a-b=3.
故答案为：3.
【分析】按规律整理式子后对每一组进行因式分解，先代入条件算出每个括号，继续代入算出最终值.
14．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为　 　.
【答案】1800
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∵x+y>0，x+2y>0，
∴x=2y.
又由题意可得x+y= 90，
解方程组
解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)，
故答案为：1800.
【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可.
15．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
三、解答题
16． 已知n为整数，代数式 的值一定能被12 整除吗 作出判断，并说明理由.
【答案】解：（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除，理由如下：
∵（n+5）2-（n-1）2=n2+10n+25-n2+2n-1=12n+24=12（n+2），
又∵n为整数，
∴（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除.
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先把（n+5）2-（n-1）2利用完全平方公式展开，合并同类项为12n+24=12（n+2），由于n为整数，所以（n+5）2-（n-1）2的值一定能被12整除.
17．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是　 　 法，共应用了　 　 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是　 　
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是　 　
【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
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