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浙教版数学七年级下册 4.3 用乘法公式分解因式 二阶训练
一、选择题
1．（2026八上·潮阳期末）下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．已知是完全平方式，则常数k等于（　　）
A．8 B． C．16 D．8或
3．多项式 因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南明模拟）一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2018七上·大庆期中）整式x2+kx+25为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（　　）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
6．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
7．（2026八上·东莞期末）小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．（2024七下·锡山月考）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2025八上·潮阳月考）对于任意整数n，多项式都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除
10．（2023八上·东平月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．60 C．62 D．88
二、填空题
11．（2019八上·椒江期末）因式分解： 　 　．
12．（2026八上·惠州期末）若，则　 　．
13．已知x+y=2，则　 　.
14．（2025七下·南县期中）若多项式恰好是一个完全平方式，那么的值　 　．
15．（2025·德阳模拟）已知，则　 　，　 　．
三、解答题
16．（2026八上·安州期末）把下列各式因式分解：
（1）
（2） .
17．若一个正整数x能表示成a2－b2（a，b是正整数，且a＞b)的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解．
例如：因为5＝32－22，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解；
再如：M＝x2＋2xy也是“优美数”．因为M＝x2＋2xy＝x2＋2xy＋y2－y2＝（x＋y)2－y2（其中x，y是正整数)，所以M也是“优美数”，x＋y与y是M的一个平方差分解．
（1）判断48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，请说明理由．
（2）已知N＝x2－y2＋6x－10y＋k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y＋2)，要使N是“优美数”，试求出符合条件的一个k值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、≠ ，错误；B、≠ ，错误；
C、，故本选项正确；
D、≠ ，错误．
故答案为：C．
【分析】本题根据提公因式法计算并判断A选项，利用平方差公式计算平判断B选项，利用完全平方公式计算并判断CD选项。
2．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式
∴
∴
∴解得
故选：D．
【分析】根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行作答.
3．【答案】B
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：b)2.
故答案为：B。
【分析】本题可以运用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，本题中的多项式中，可以将9a2变形为（3a）2，代入完全平方公式中进行因式分解即可。
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别对各个选项的因式进行分解，然后再对照题干中的式子，即可求解。
5．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】若
x2+kx+25为某完全平方式
则：x
2+kx+25
=
=x
210x
25
∴k=
10。
故答案为：D.
【分析】完全平方公式有两个，
=
，对比公式确定a、b的值，求得k即可。
6．【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵是不大于5的正整数，且能利用平方差公式分解因式，
∴为偶数，且可能值为2或4，
当时，，
当时，．
故答案为：D．
【分析】本题首先结合能利用平方差公式进行分解因式的特点，分析得出为平方项，且可能为2或4。然后分两种方法进行因式分解，从而得出答案。
8．【答案】C
【知识点】完全平方式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式的特点确定拼成的正方形的边长的六种情况，再逐一展开写出即可．
9．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
∵n是任意整数，
∴都能被8整除，
∴多项式都能被8整除．
故答案为：C．
【分析】本题先将9变形为32，然后利用平方差公式变形，合并计算后提取公因数8，最后得到，此时观察最后的计算结果即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设这两个连续偶数分别（m为自然数），
∴“神秘数”，
A、若，解得，故Ａ错误.
B、若，解得，故Ｂ正确.
C、若，解得，故Ｃ错误.
D、若，解得，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】设这两个连续偶数分别（m为自然数），则“神秘数”，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数列方程求解即可，分别求出，，，的m值，根据m值是不是自然数即可得答案.
11．【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
∵，
∴原式．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般应用：先对原多项式提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解后得到，再整体代值计算即可解答．
13．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
=，
∵ x+y=2，
∴原式=
=2.
故答案为：2.
【分析】先对原式提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，最后整体代入即可.
14．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：为完全平方式，
，
得或．
故答案为：或．
【分析】根据完全平方公式的特征求解即可．
15．【答案】1；4
【知识点】因式分解﹣公式法；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：原方程等价于，
∵，，
∴，
解得．
故答案为：1，4．
【分析】利用几个非负数之和为0则每一个数都为0，可得到关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
(2)先提取公因式(x-y)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
17．【答案】（1）解：48是“优美数”．
因为132－112＝(13＋11)×(13－11)＝24×2＝48，82－42＝(8＋4)×(8－4)＝12×4＝48，72－12＝(7＋1)×(7－1)＝8×6＝48，
所以48的所有平方差分解为13与11，8与4，7与1.
（2）解：因为N＝(x2＋6x＋9)－(y2＋10y＋25)＋k＋16＝(x＋3)2－(y＋5)2＋k＋16，
且x＞y＋2，
所以x＋3＞y＋5.
所以当k＋16＝0，即k＝－16时，
N＝(x＋3)2－(y＋5)2为“优美数”．
故当k＝－16时，N为“优美数”．
【知识点】完全平方式；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】(1)利用“优美数”的定义解答即可；
(2)将N表示成关于x，y平方差的形式，再利用“优美数”的定义解答即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册 4.3 用乘法公式分解因式 二阶训练
一、选择题
1．（2026八上·潮阳期末）下列因式分解正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、≠ ，错误；B、≠ ，错误；
C、，故本选项正确；
D、≠ ，错误．
故答案为：C．
【分析】本题根据提公因式法计算并判断A选项，利用平方差公式计算平判断B选项，利用完全平方公式计算并判断CD选项。
2．已知是完全平方式，则常数k等于（　　）
A．8 B． C．16 D．8或
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式
∴
∴
∴解得
故选：D．
【分析】根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行作答.
3．多项式 因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：b)2.
故答案为：B。
【分析】本题可以运用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，本题中的多项式中，可以将9a2变形为（3a）2，代入完全平方公式中进行因式分解即可。
4．（2025·南明模拟）一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别对各个选项的因式进行分解，然后再对照题干中的式子，即可求解。
5．（2018七上·大庆期中）整式x2+kx+25为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（　　）
A．5 B．±5 C．10 D．±10
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】若
x2+kx+25为某完全平方式
则：x
2+kx+25
=
=x
210x
25
∴k=
10。
故答案为：D.
【分析】完全平方公式有两个，
=
，对比公式确定a、b的值，求得k即可。
6．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
7．（2026八上·东莞期末）小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵是不大于5的正整数，且能利用平方差公式分解因式，
∴为偶数，且可能值为2或4，
当时，，
当时，．
故答案为：D．
【分析】本题首先结合能利用平方差公式进行分解因式的特点，分析得出为平方项，且可能为2或4。然后分两种方法进行因式分解，从而得出答案。
8．（2024七下·锡山月考）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式的特点确定拼成的正方形的边长的六种情况，再逐一展开写出即可．
9．（2025八上·潮阳月考）对于任意整数n，多项式都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
∵n是任意整数，
∴都能被8整除，
∴多项式都能被8整除．
故答案为：C．
【分析】本题先将9变形为32，然后利用平方差公式变形，合并计算后提取公因数8，最后得到，此时观察最后的计算结果即可得出答案。
10．（2023八上·东平月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设这两个连续偶数分别（m为自然数），
∴“神秘数”，
A、若，解得，故Ａ错误.
B、若，解得，故Ｂ正确.
C、若，解得，故Ｃ错误.
D、若，解得，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】设这两个连续偶数分别（m为自然数），则“神秘数”，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数列方程求解即可，分别求出，，，的m值，根据m值是不是自然数即可得答案.
二、填空题
11．（2019八上·椒江期末）因式分解： 　 　．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．（2026八上·惠州期末）若，则　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
∵，
∴原式．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般应用：先对原多项式提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解后得到，再整体代值计算即可解答．
13．已知x+y=2，则　 　.
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
=，
∵ x+y=2，
∴原式=
=2.
故答案为：2.
【分析】先对原式提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，最后整体代入即可.
14．（2025七下·南县期中）若多项式恰好是一个完全平方式，那么的值　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：为完全平方式，
，
得或．
故答案为：或．
【分析】根据完全平方公式的特征求解即可．
15．（2025·德阳模拟）已知，则　 　，　 　．
【答案】1；4
【知识点】因式分解﹣公式法；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：原方程等价于，
∵，，
∴，
解得．
故答案为：1，4．
【分析】利用几个非负数之和为0则每一个数都为0，可得到关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值.
三、解答题
16．（2026八上·安州期末）把下列各式因式分解：
（1）
（2） .
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
(2)先提取公因式(x-y)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
17．若一个正整数x能表示成a2－b2（a，b是正整数，且a＞b)的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解．
例如：因为5＝32－22，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解；
再如：M＝x2＋2xy也是“优美数”．因为M＝x2＋2xy＝x2＋2xy＋y2－y2＝（x＋y)2－y2（其中x，y是正整数)，所以M也是“优美数”，x＋y与y是M的一个平方差分解．
（1）判断48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，请说明理由．
（2）已知N＝x2－y2＋6x－10y＋k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y＋2)，要使N是“优美数”，试求出符合条件的一个k值.
【答案】（1）解：48是“优美数”．
因为132－112＝(13＋11)×(13－11)＝24×2＝48，82－42＝(8＋4)×(8－4)＝12×4＝48，72－12＝(7＋1)×(7－1)＝8×6＝48，
所以48的所有平方差分解为13与11，8与4，7与1.
（2）解：因为N＝(x2＋6x＋9)－(y2＋10y＋25)＋k＋16＝(x＋3)2－(y＋5)2＋k＋16，
且x＞y＋2，
所以x＋3＞y＋5.
所以当k＋16＝0，即k＝－16时，
N＝(x＋3)2－(y＋5)2为“优美数”．
故当k＝－16时，N为“优美数”．
【知识点】完全平方式；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】(1)利用“优美数”的定义解答即可；
(2)将N表示成关于x，y平方差的形式，再利用“优美数”的定义解答即可.
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