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浙教版数学七年级下册 4.3 用乘法公式分解因式 三阶训练
一、选择题
1．（2026八上·湛江月考）将因式分解，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·海曙期中）有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论k取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③ 若，则t可以取的值有3个；
④关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
4．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是(　　)
A．64.8 B．24.3 C．16.2 D．8.1
5．多项式 加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式是(　　)
A． B．或
C． D．或 或 或
6．若 分解因式后，有一个因式是 则另一个因式是(　　)
A． B． C． D．
7．（2025八上·期末）若 且aA．4 B．-4 C．6 D．- 6
8．（2025七下·杭州月考）已知，，则ab的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
9．（2023七上·大埔期中）有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（　　）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
10．（2022七下·文山期末）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题
11．（2021·北部湾模拟）因式分解：4a3-16a2+16a=　 　
12．（2025八上·江汉期末）多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是　 　．
13．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
14．（2024八上·大竹期末）若化简的结果是，则x的取值范围是　 　
15．（2024七下·新昌期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学　 　人．
三、解答题
16．（2026八上·龙马潭期末）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设
原式=y (y+2) +1(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　.(填“彻底“或“不彻底“)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解
17．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故选：D．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项，结合完全平方公式即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；二元一次方程（组）的同解问题；平行公理
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①错误；
②当k为正数时，多项式总能分解能两个一次因式积的形式，②错误；
③，
分三种情况：
a．，
∴，
b．时，，，故，
c．时，，，此时，故．
∴t可以取的值有2个，③错误；
④关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，，
可得，解得：，
则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，④正确；
故答案为：A．
【分析】根据平行公理可判断①；根据因式分解-运用公式法可判断②；根据1，-1的偶次幂和非零的零次幂等于1讨论可判断③；根据加减法解二元一次方程组，再根据对应系数相等可判断④；
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
4．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由 可得到
则
故选： C.
【分析】根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出.
5．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】可根据 求出中间项或第一项；还可考虑，加上一个单项式后，结果可以是一个单项式，且能写成完全平方形式即可.
6．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程组；完全平方式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a∴a-b<0，
又∵
联立可得 解得
∴ab=（-4）×（-1）=4.
故答案为：A。
【分析】首先根据且 a8．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式
【解析】【解答】解： ∵3a÷3b=9，
∴3a÷3b=3a-b=9=32，
∴a-b=2，
∴（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，
∵a2+b2=6，
∴6-2ab=4，
解得：ab=1．
故答案为：C.
【分析】 由同底数幂的除法逆运算，可得3a÷3b=3a-b=9=32，由此可得a-b=2，然后再根据完全平方公式，可得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，然后把a2+b2=6代入，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
，
，
，故①正确；
……，
∴，
∴
，故⑤正确；
第一项是，
第二项是，
第三项是，
第四项是，
第五项是，
……，
第n项是，
∴第2022项为，故④错误；
∴当时，第三项的值是，故②错误；
∵第5项与第4项之差为15，
∴，
解得：，故③正确；
故选：D
【分析】根据题意求出，，，，，……，据此找出规律，继而得出，可判断①⑤；然后再求出第一项，第二项，第三项，第四项，……，由此找出规律，即得第n项是，可判断②③④．
10．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
11．【答案】4a(a-2)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 4a3-16a2+16a
=4a（a2-4a+4）
=4a（a-2）2；
故答案为：4a(a-2)2.
【分析】先提取公因式4a，再运用公式法进行因式分解即可求解.
12．【答案】4x4或4x或 4x
【知识点】完全平方式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，
当这个单项式是4x4时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，
当这个单项式是4x时，4x2+1+4x=（2x+1）2；
当这个单项式是-4x时，4x2+1-4x=（2x-1）2．
∴这个单项式是4x4或4x或 4x．
故答案为4x4或4x或 4x．
【分析】根据完全平方式的意义，分添上的项是平方项、中间项，分别求解即可．
13．【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
14．【答案】1≤x≤4
【知识点】完全平方式；求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：
原式==
当1-x≥0， x-4≥0时， 此时x无解， 不符合题意；
当1-x≥0， x-4≤0时， 可得x≤1时， 原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0， x-4≥0时， 可得x≥4时， 原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0， x-4≤0时， 可得1≤x≤4时， 原式=x-1-4+x=2x-5；
综上分析，可得当1≤x≤4时，
故答案为： 1≤x≤4.
【分析】先对原式进行化简，再依据x的取值进行分类讨论，从而结合题意求解.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，
设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，
即．
∵，
和同奇或同偶，
∴或，
解得或
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学人．
故答案为：．
【分析】设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，设正方形方阵的边长分别为m，n列关系式，然后两式相减得到，根据平方差公式分解因式解题即可．
16．【答案】（1）C
（2）不彻底；(x+1)4
（3）解：设y=x2-6x，
原式=(y+8)(y+10)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C.
(2)分解结果不彻底，
(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1
=(x2+2x+1)2
=[(x+1)2]2
=(x+1)4；
故答案为：不彻底，(x+1)4.
【分析】(1)根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可；
(2)根据完全平方公式法继续进行因式分解即可；
(3)仿照题干方法，进行因式分解即可.
17．【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
1 / 1浙教版数学七年级下册 4.3 用乘法公式分解因式 三阶训练
一、选择题
1．（2026八上·湛江月考）将因式分解，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故选：D．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项，结合完全平方公式即可求出答案.
2．（2025七下·海曙期中）有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论k取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③ 若，则t可以取的值有3个；
④关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；二元一次方程（组）的同解问题；平行公理
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①错误；
②当k为正数时，多项式总能分解能两个一次因式积的形式，②错误；
③，
分三种情况：
a．，
∴，
b．时，，，故，
c．时，，，此时，故．
∴t可以取的值有2个，③错误；
④关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，，
可得，解得：，
则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，④正确；
故答案为：A．
【分析】根据平行公理可判断①；根据因式分解-运用公式法可判断②；根据1，-1的偶次幂和非零的零次幂等于1讨论可判断③；根据加减法解二元一次方程组，再根据对应系数相等可判断④；
3．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
4．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是(　　)
A．64.8 B．24.3 C．16.2 D．8.1
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由 可得到
则
故选： C.
【分析】根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出.
5．多项式 加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式是(　　)
A． B．或
C． D．或 或 或
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】可根据 求出中间项或第一项；还可考虑，加上一个单项式后，结果可以是一个单项式，且能写成完全平方形式即可.
6．若 分解因式后，有一个因式是 则另一个因式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式.
7．（2025八上·期末）若 且aA．4 B．-4 C．6 D．- 6
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程组；完全平方式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a∴a-b<0，
又∵
联立可得 解得
∴ab=（-4）×（-1）=4.
故答案为：A。
【分析】首先根据且 a8．（2025七下·杭州月考）已知，，则ab的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式
【解析】【解答】解： ∵3a÷3b=9，
∴3a÷3b=3a-b=9=32，
∴a-b=2，
∴（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，
∵a2+b2=6，
∴6-2ab=4，
解得：ab=1．
故答案为：C.
【分析】 由同底数幂的除法逆运算，可得3a÷3b=3a-b=9=32，由此可得a-b=2，然后再根据完全平方公式，可得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，然后把a2+b2=6代入，即可得出答案.
9．（2023七上·大埔期中）有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（　　）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
，
，
，故①正确；
……，
∴，
∴
，故⑤正确；
第一项是，
第二项是，
第三项是，
第四项是，
第五项是，
……，
第n项是，
∴第2022项为，故④错误；
∴当时，第三项的值是，故②错误；
∵第5项与第4项之差为15，
∴，
解得：，故③正确；
故选：D
【分析】根据题意求出，，，，，……，据此找出规律，继而得出，可判断①⑤；然后再求出第一项，第二项，第三项，第四项，……，由此找出规律，即得第n项是，可判断②③④．
10．（2022七下·文山期末）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
二、填空题
11．（2021·北部湾模拟）因式分解：4a3-16a2+16a=　 　
【答案】4a(a-2)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 4a3-16a2+16a
=4a（a2-4a+4）
=4a（a-2）2；
故答案为：4a(a-2)2.
【分析】先提取公因式4a，再运用公式法进行因式分解即可求解.
12．（2025八上·江汉期末）多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是　 　．
【答案】4x4或4x或 4x
【知识点】完全平方式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，
当这个单项式是4x4时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，
当这个单项式是4x时，4x2+1+4x=（2x+1）2；
当这个单项式是-4x时，4x2+1-4x=（2x-1）2．
∴这个单项式是4x4或4x或 4x．
故答案为4x4或4x或 4x．
【分析】根据完全平方式的意义，分添上的项是平方项、中间项，分别求解即可．
13．（2025八上·东坡期中）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
【答案】-2025
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
14．（2024八上·大竹期末）若化简的结果是，则x的取值范围是　 　
【答案】1≤x≤4
【知识点】完全平方式；求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：
原式==
当1-x≥0， x-4≥0时， 此时x无解， 不符合题意；
当1-x≥0， x-4≤0时， 可得x≤1时， 原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0， x-4≥0时， 可得x≥4时， 原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0， x-4≤0时， 可得1≤x≤4时， 原式=x-1-4+x=2x-5；
综上分析，可得当1≤x≤4时，
故答案为： 1≤x≤4.
【分析】先对原式进行化简，再依据x的取值进行分类讨论，从而结合题意求解.
15．（2024七下·新昌期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学　 　人．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，
设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，
即．
∵，
和同奇或同偶，
∴或，
解得或
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学人．
故答案为：．
【分析】设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，设正方形方阵的边长分别为m，n列关系式，然后两式相减得到，根据平方差公式分解因式解题即可．
三、解答题
16．（2026八上·龙马潭期末）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设
原式=y (y+2) +1(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　.(填“彻底“或“不彻底“)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解
【答案】（1）C
（2）不彻底；(x+1)4
（3）解：设y=x2-6x，
原式=(y+8)(y+10)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C.
(2)分解结果不彻底，
(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1
=(x2+2x+1)2
=[(x+1)2]2
=(x+1)4；
故答案为：不彻底，(x+1)4.
【分析】(1)根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可；
(2)根据完全平方公式法继续进行因式分解即可；
(3)仿照题干方法，进行因式分解即可.
17．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
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