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广西南宁三中等2025-2026学年下学期九年级+数学素养提升训练（二）数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 在，0，3，7四个数中，最小的是（ ）
A. B. 0 C. 3 D. 7
2. 以下几何体中，左视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
4. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　）
A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性
5. 以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　）
A 45 B. 60 C. 90 D. 135
6. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
7. 分式中的，的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的2倍 B. 不变
C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的
8. 已知一次函数，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
9. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）
A. B. C. D.
10. 某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
11. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　）
A. B. 3m C. D. 4m
12. 如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上）
13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
14. 若，则______．
15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________．
16. 如图，在中，，是斜边上中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接．
（1）尺规作图：作中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，证明：．
20. 某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分．
【收集数据】
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100.
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100.
【整理数据】
平均数 中位数 众数
八年级 a 87.5 c
九年级 85 b 80
（1）直接写出_____；_____；_____．
（2）该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数）
（3）【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示．
根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图．
（4）【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可）
21. 综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型．
【解决问题】
（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
22. 如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，求阴影部分面积．
23. 学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．
（1）当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；
（2）第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式；
（3）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式；
（4）已知喷泉池半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】D
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡上的横线上）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】##
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【17题答案】
【答案】（1）0 （2）
【18题答案】
【答案】，
【19题答案】
【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析
【20题答案】
【答案】（1）86，85，90
（2）85.6 （3）作图见解析
（4）见解析
【21题答案】
【答案】（1）见解析 （2）47 （3）见解析
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）能，理由见解析

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