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初中2026届学业水平测试数 学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1.在0，-2，-，π四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A．0 B．-2 C． D．π
2.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
3.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4.砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5.为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼，已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
6.下列计算正确的是（　　）
A．（-2x3y2）3=-6x9y6 B．-3x2 x3=-3x6
C．x10÷x6=x4 D．（-4x）（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4x
7.一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=-4 B．x1+x2=-6 C．x1+x2=4 D．x1+x2=6
8.如图，在坡角为α的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离AB=6米，则这两棵树的竖直距离BC可表示为（　　）
A．6sinα米 B． 米
C．6cosα米 D．米
9.已知一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=在第二象限内的图象如图所示，则二次函数y=x2-bx+k-1的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= +6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AO上，⊙P与x轴交于M、O两点，当⊙P与该一次函数的图象相切时，AM的长度是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．6
11.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D做匀速运动，那么△ABP的面积y与点P运动的路程x之间的函数图象大致为（　　）
A． B． C． D．
12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长线FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数为（　　）
①∠AEB=∠BFC；②GE2+GB2=BE2；③∠QBF=∠QFB；
④cos∠BQP=；⑤S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE．
A．5 B．4 C．3 D．2
二.填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上)
13.把多项式8ay2-2a分解因式的结果是 ．
14.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线，ED∥AB交AC于点G．下列结论：①AE=AG；②△ADG是等腰三角形；③
AG=DE．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，已知点C（-8，0），D（2，0），点P是线段CD上一点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．在点P从点C运动到点D的过程中，线段AQ扫过的面积为 ．
16.若关于x的一元一次不等式组 有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程 = +7有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PF+QE的最小值为 ．
18.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF， =，
那么cot∠ABD= ．
三.解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．(13分)（1）(5分)计算：+(-3.14)0 +3tan600 –(-)-2 +；
（2）(8分)先化简: 1+ ()，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
20. (12分)为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（每位同学必选且只选最喜欢的一类），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）(4分)这次调查的学生共有 名，喜欢“文学”类的学生有 名；
（2）(4分)在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是 °，“其他”类所对应的百分比是 ；
（3）(4分)如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是 ．
21．(8分) 某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
（1）(4分)求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
（2）(4分)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
22. (15分)如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）(5分)求证：EF=ED；
（2）(5分)若AB=2，CE=，BF的长度为 ；
（3）(5分)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
23. (15分)定义：点M（m,n）关于原点的对称点为M′，以MM′为边作等边△MM′N，则称点N为M的“完美三角点”．
（1）(5分)若M（2，3），求点M的“完美三角点”的坐标．
（2）(10分)若M点是双曲线y= (x>0)上一动点，当点M的“完美三角点”点N在第四象限时，
①如图1，请问点N是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．
②如图2，已知点A(1,3) ,B(2, )，点C是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的纵坐标yn的取值范围．
24. (15分)四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是对角线，CA平分∠BCD．
（1）(3分)如图1，求证：AB=AD；
（2）(5分)如图2，点E在线段CD上，连接AE，AB=AE，连接BE，∠BED=135°，求证：BC⊥CD；
（3）(8分)如图3，在（2）的条件下，作BH⊥AB交⊙O于点H，交线段AC于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论．
25. (12分)综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A（-3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）(3分)求抛物线的解析式；
（2）(5分)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）(4分)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m,点N的横坐标为n.求证：mn是一个定值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D C B C B A D C D B
二.填空题:本大题共6个小题，每小题4分，共24分
13. 2a（2y+1）（2y-1） 14. ②③ 15. 10
16. 12 17. 5 18.
三.解答题:本大题共7个小题，共90分
19.
由题意，a-1≠0，a+2≠0，-2≤x≤1，
∴a=-2或1（不合题意，舍去），
当a=0时，原式=2．
20. 解：（1）由统计图可知：这次调查的学生共有45÷15%=300（名）；喜欢“文学”类的学生有300-45-57-75-48=75（名）；
故答案为：300；75；
（2）由（1）可知：“科普”类所对应的圆心角的度数是360°×=90°；
“其他”类所对应的百分比是×100%=16%；
故答案为：90；16%；
（3）由题意可列表如下：
艺术 文学 传记 科普 其他
艺术 / √ √ √ √
文学 √ / √ √ √
传记 √ √ / √ √
科普 √ √ √ / √
其他 √ √ √ √ /
∴在这五类图书中任选两类进行调查共有20种，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的共有2种，则恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为P= =；
故答案为：
21. 解：（1）设毛巾的单价是x元，扫把簸箕套装的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元；
（2）设学校应购进m套扫把簸箕套装，则购进3m条毛巾，
按方案1购买时，，
解得：m=50，
∴3m=3×50=150（条）；
按方案2购买时，，
∵该不等式组无解，
∴不能按方案2购买．
答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾．
22. （1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，∠BAD=∠DAC=45°，
AD∥BC，
∴EN⊥BC，
∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，
∴∠FNE=∠EMD=90°，MN=AB=AD，AM=BN，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∵EM⊥AD，∠DAC=45°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM=EM，
∵MN=AD，
∴EM+EN=DM+AM，
∴EN=DM，
在△ENF和△DME中，
∴△ENF≌△DME（AAS），
∴EF=ED；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB=2，
∴AD=AB=2，
设AM=EM=BN=a,
∴DM=AD-AM=2-a,
在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2=DE2，
整理得：a2-2a+1=0，
解得：a=1，
∴AM=EM=BN=a=1，
∵△ENF≌△DME，
∴FN=EM=1，
∴BF=BN+FN=2，
故答案为：2；
（3）∵点E为对角线AC上一点，
∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况：
①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE=30°，如图3①所示：
∴∠EDC=∠CDA-∠ADE=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF=360°，
∴∠EFC+90°+60°+90°=360°，
∴∠EFC=120°；
②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE=30°，如图3②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠BCA=45°，
在△CDE中，∠CED=180°-（∠CDE+∠DCA）=180°-（30°+45°）=105°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠CED-∠DEF=105°-90°=15°，
∵∠BCA是△CEF的外角，
∴∠BCA=∠CEF+∠EFC，
∴45°=15°+∠EFC，
∴∠EFC=30°，
综上所述：∠EFC的度数是120°或30°．
23. 解：（1）∵M（2，3），
依据“完美三角点”的定义得：点M关于原点的对称点为M′（-2，-3），
由题意得：△MM′N是等边三角形，
（2）①点N在某一函数图象上运动；理由如下，
∴点N在第四象限，t＜0，
②以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：
当AC为平行四边形的边时，C与B重合时，
通过平移可求得N的横坐标为1，
∵xy=-9，
∴y=-9，
∴这一临界点通过平移可求得N（1，-9），
∴yN≤-9；
当AC为平行四边形的对角线时，C与B重合时，
通过平移可求得N的横坐标为3，
∵xy=-9，
∴y=-3，
∴这一临界点通过平移可求得N（3，-3），
∴yN＜-3；
24.（1）证明：∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，

∴AB=AD；
（2）证明：∵AB=AE，
∴可设∠ABE=∠AEB=α，
由条件可知∠AED=135°-α，∠BAE=180°-2α，
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=135°-α，
∴∠DAE=180°-2（135°-α）=2α-90°，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB
=180°-2α+2α-90°
=90°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD．
（3）解：DE=CH；
证明：连接DH，延长AC使CH=CK，连接HK，BK，
由条件可知∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAD=∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABHD是正方形．
∴AD=BH=AB=DH，

∴∠ACB=∠DCH=∠ACD，
又∵∠ACB=∠BCD=45°，
∴∠DCH=∠ACD=45°，
∴∠BCH=135°，
∠HCK=90°，
∴∠BCK=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
在△BCH和△BCK中，
∴△BCH≌△BCK（SAS），
∴∠CBK=∠CBH，
BH=BK，
∴∠HBK=2∠CBH，
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
在△ADE和△BHK中，
∴△ADE≌△BHK（SAS），
∴DE=HK，
又∴HK2=CH2+HK2，
∴HK=CH，
∴DE=CH．
25. 解：（1）抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A（-3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），将点A和点B的坐标分别代入得：
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，
设直线AB的解析式为y=kx+b,把点和点B的坐标分别代入得
∴直线AB的解析式为y=x+3，
点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C），
设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为-x2-2x+3，
∴点H的横坐标为x,点H的纵坐标为x+3，
∴PH=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x,

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