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山东中学联盟2026届高三普通高中学业水平4月调研数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知M，N均为R的子集，且，则为（ ）
A. M B. N
C. D. R
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知抛物线T:=2px(p>0)的准线被圆C:+-4y-4=0截得的弦长为4,则p的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.某实验最近100天的数据x(单位:ug/ml)绘制成如图所示的频率分布直方图,则估计该实验数据的第80百分位数为( )
A. B. 5 C. D.
5.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a=bC,且b=6,则ABC的外接圆半径为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6.若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b+的最小值为( )
A. 7 B. C. 6 D. 4
7.已知函数f(x)在定义域[-3,3]上单调递减,且函数y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称,不等式f(-t)+f(-3t)>0的解集为( )
A. (0,2) B. (0,1] C. (-1,) D. (0,)
8.半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在菱形中，，点满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为,第二、三行中的最大数分别为,,第二、三行中的最小数分别为,,则( )
A. 排列总数为720个 B. =5的概率为
C. <的概率为 D. 满足<<的排列有120个
11.设函数f(x)=(x-e)|x|的极小值点为,则( )
A. f(x)的单调递增区间为(-,0)和(,+)
B. f(x)有且仅有两条斜率为2的切线
C. >e+1
D. (e+1)f()<-
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列{}满足=1,=2,=-,则= .
13.已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ．
14.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列和正项等比数列满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
16.(本小题15分)
如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．
17.(本小题15分)
某商场进行消费抽奖活动，抽奖分成两轮，第一轮游戏消费者投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，进入第二轮游戏，否则游戏结束，消费者获得三等奖，奖金10元；第二轮游戏消费者在装有2个白球和个红球的抽奖箱中任意抽取两个球，若抽取的两个球均为白球，则获得一等奖，奖金30元，若抽取的球为一个红球一个白球，则获得二等奖，奖金20元，若抽取的球均为红球，则获得三等奖，奖金10元，抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同．
(1)若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
(2)记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望小于12元，求的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(2a-x)x,其中aR.
(1)若曲线y=f(x)在点x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求a的值;
(2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围;
(3)若a>0,bR,对任意的x>0,f(x)b恒成立,求b-6a的最小值.
19.(本小题17分)
已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线交轴于点，
（i）若，求证：为定值；
（ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ABC
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设的公差为，数列的公比为，
由，得，
因为，，所以，，得，，
故，；
（2）由（1）可知，，
则

16.【答案】解：（1）取的中点，连接，，，因为为中点，为中点，
所以，在三棱柱中，，
则四边形是菱形，得，则，又，
，，平面，所以平面，
又因为，平面，所以，因为是等边三角形，为中点，所以，
又因为，，平面，所以平面，又因为平面，
所以，平面平面.
（2）连接，因为，，所以是等边三角形，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，得，，又，
如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，易知平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，令，解得，
此时，所以线段.

17.【答案】解：（1）硬币只有正反两面，第一轮反面朝上的概率为；
当时，抽奖箱中有2个白球和4个红球，从6个球中任意摸出2个球的组合数为，从4个红球中任意摸出2个球的组合数为，
第二轮摸到2个红球的概率为；
第一轮硬币正面朝上且第二轮摸到的2个球均为红球的概率为；
顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为.
（2）由题意得，的所有可能取值为10，20，30.
商场希望的数学期望小于12,，即
化简得，解得或.
且，的最小值为9.

18.【答案】解:(1)因为f(1)=0,切线与坐标轴围成的三角形的面积为,
所以切线与y轴交点的坐标为(0,3) .
所以切线斜率k=3,f'(x)=-x+-1,f'(1)=3,
所以a的值为-1或2.
(2)由题意得f'(x)=-x+-1,
令t(x)=-x+-1,则t'(x)=.
a0,t'(x)<0,f'(x)在(0,+)单调递减,f'()>0,f'(2a+1)<0,
存在(,2a+1),使得f'()=0,
所以f(x)在(0,)单调递增,在(,+)单调递减,即f(x)不单调.
a<0,x(0,-2a),t'(x)>0,f'(x)在(0,-2a)单调递增,
x(-2a,+),t'(x)<0,f'(x)在(-2a,+)单调递减,
f'(-2a)=-(-2a)-2,令f'(-2a)>0,即a>-,
此时存在(0,-2a),(-2a,+),使得f'()=0,f'()=0,
x0,f'(x)-;x+,f'(x)-,
所以f(x)在(0,)单调递减,在(,)单调递增,在(,+)单调递减,即f(x)不单调，
综上所述a的取值范围为(-,+).
(3)由(2)知当a>0时,f'(x)在(0,+)单调递减,f'()>0,f'(2a+1)<0,
存在(,2a+1),使得f'()=0,2a=+,
所以f(x)在(0,)单调递增,在(,+)单调递减,
f=f()=(2a-),
所以b(2a-),即b-6a(2a-)-6a,
b-6a--,
令h(x)=x-3xx-3x，
因为h'(x)= -x-6=(x-3)(x+2)
当x(0,)时,h(x)单调递增,当x(,)时,h(x)单调递减,
当x(,+)时,h(x)单调递增,x0,f'(x)0,
所以h=h()=-,
所以b-6a的最小值为-.

19.【答案】解：（1）由题意得，
当直线与轴垂直时，，即，即，
故，将其代入中，得，
所以双曲线方程为；
（2）（i）显然直线不为0，故设直线为，
又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故，
与联立可得，
，
设，则，
过点交的右支于两点，故，不妨设，
，即，
即，解得，，
，同理可得，，
则；
（ii）由于，由几何关系可得，
其中，故，整理可得，
又，，
所以，
由（i）知，，，
故，又，，
故，整理得，，
令，则，，
所以，
由对勾函数可知在上单调递增，
故.

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