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四川南充市2026届高考适应性考试（二诊）数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 5
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为（ ）
A. 1 B. 6 C. 15 D. 20
6.在中，，，若，，，相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知角，满足，，则（ ）
A. B. C. D. 2
8.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B.
C. 关于点对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
10.如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当时，二面角的正切值为
C. 四面体的外接球体积为
D. 若，则的取值范围是
11.假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 设，则
D. 设，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 .（结果用和表示）
13.在中，，，分别是边，，边的中点，若，，，则的长度为 .
14.已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，为数列的前项和，为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
16.(本小题15分)
某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人.
(1)根据以上数据，填空下述列联表：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关；
(3)现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，.
参考数据：
17.(本小题15分)
已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，.
(1)求的值；
(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若为上一点，，求.
18.(本小题17分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，是的一个极值点，，是两个不同的零点，记，，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.
19.(本小题17分)
已知椭圆的离心率，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足.
（ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值；
（ⅱ）求四边形面积的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意，，，
所以.
当时，.
当时，.
当时，上式亦成立，所以.
（2）因为，
所以，
因为，所以.
所以.

16.【答案】解：（1）根据题中数据可得列联表如下：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
（2）零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关.
（3）从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，
这人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以.

17.【答案】解：（1）在四棱锥中，底面为矩形，底面，
以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，得，
，，
，
，
，
化简得，即，又，解得.
（2）若为线段的中点，有，
，设平面的一个法向量为，
，令，则，即，
又，设直线与平面所成角为，
则.
（3）为上一点，设，，
则，设，，
，又，，
则有，解得，
所以，，
又，则.

18.【答案】解：（1）函数的定义域为.
，
所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为.
，
令，则，即.
解得.
当时，，所以，所以.
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得极大值.所以.
又，所以，.
（ⅰ）证明：
令，则.
因为，所以恒成立，所以恒成立，
所以是减函数.
因为，所以，即，即得证.
要证，只证，
因为当时，单调递减，所以只需证.
由，得，即.
所以.
令，则恒成立，
所以是增函数.
因为，所以.
所以得证.
综上，得证.
（ii）由（i）得，，所以，
又，所以.
，
因为，所以.
所以.
所以若为等腰三角形，则，即是的中点，即，
与矛盾，所以不可能是等腰三角形.

19.【答案】解：（1）由题意可知解得：
椭圆的方程为.
（2）（i）设斜率为，斜率为，，，，，
直线过，直线方程为，
代入椭圆方程整理得：
，
由弦长公式可知：
计算得：，同理可得：
由题设，
整理得，即.
因（两条不同直线），故. 即斜率之和为定值.
（ii）设，两条直线夹角为，四边形对角线为，
面积为
计算得：
，
，
设两直线倾斜角为，，则，
，
化简可得：，
令，由基本不等式，当且仅当时等号成立，
进一步化简得：令，则，这是关于的开口向下二次函数，
对称轴，故在（即）时取最大值，

因此四边形面积的最大值为.

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