资源简介

北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z的共轭复数是,若i=1-i,则z=( )
A. -1+i B. -1-i C. 1-i D. 1+i
3.在中，，若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
4.若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 4
5.已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ）
A. 28 B. 42 C. 56 D. 112
7.已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为.
给出下列三个结论：
①；
②；
③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92 dB；
（参考数据：，）
其中正确结论的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10.已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（ ）
A. B. 2 C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知，则 ； .
13.已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则 .
14.设函数，则图象的一条对称轴方程为 ；若在上单调递增，则的最大值为 .
15.如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②存在点，使得平面平面；
③为锐角三角形；
④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且.
(1)设中点为，求证：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值.
17.(本小题12分)
顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）：
有机种植 机械种植 共生种植
镇 300 350 425
镇 300 375 400
用频率估计概率.
(1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率；
(2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望；
(3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：
有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg；
机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg；
共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg.
假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明）
18.(本小题12分)
在三角形中，角所对的边长分别为，，.
(1)求；
(2)若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题12分)
已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立 说明理由.
20.(本小题14分)
已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在两个极值点，且，求的取值范围.
21.(本小题15分)
已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数.
(1)已知：，求，的值；
(2)若为奇数，且，求证：；
(3)求证：.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】 ； ； ； /
13.【答案】或
14.【答案】 ； ； ； /任意符合的结果都正确 ；
15.【答案】①③
16.【答案】解：（1）如图，取的中点，连接，
因为中点，则，又，则，
因，则，可得，故，
又平面，而平面，故平面.
（2）过点作平面的垂线，垂足为，连接，
因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即，
因平面，，则平面，，
在中，，由余弦定理，，
则，因，
由可得，解得，
在中，，即直线与平面夹角的正弦值为.

17.【答案】解：（1）由题可得随机拿地的情况有：种，
平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：；
（2）分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示，
横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数.
的情况有共2种；
的情况有共5种；
的情况有种，则分布列如下：
0 1 2
期望为：；
（3）设两地分别有土地面积为亩.
对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为，
则有机种植的总利润为：元，
类似可得A地机械种植总利润为：元，
A地共生种植总利润为：元，
则A地平均利润为：元；
类似可得B地平均利润为：元.
则.

18.【答案】解：（1）由，将代入得：，
根据正弦定理，可得，即
已知，代入得：，
在中，，约去，得，
又因为，所以；
（2）选择条件①、②来作解答：

已知，，在上，，，
故，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
代入已知条件得：，
由上两式消整理可得，
，
若，代入上式可得，此时判别式小于0，该方程无解；
若，代入上式可得，
解得正根，
代入：，
此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意，
则.
选择条件①、③来作解答：

已知，在上，，，，
在中，由正弦定理可得：，
当为锐角时，由，可得，
在中，由余弦定理可得：，
整理得：，
在中，由余弦定理：，
代入已知条件得：，
解得：或，
由于为钝角，则满足，即，
故，此时，

当为钝角时，由，可得，
在中，由余弦定理可得：，
整理得：，
在中，由余弦定理：，
代入已知条件得：，
解得：或，
由于为锐角，则满足，即，
故，此时，
则此时三角形为等边三角形，
故满足题意的三角形有两个，不满足题意，故不能选①、③来作解答；
选择条件②、③来作解答：

已知，在上，，，，
过点作，垂足为，因为，所以，
由点在上，可知为锐角，则，
又由，，在直角三角形中，可解得：，
再由，可得，
再由，可得，即，
在中，由余弦定理：，
代入已知条件得：，
解得：或，
由于为钝角，则满足，即，
故，此时，
此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意，
则.

19.【答案】解：（1）由椭圆性质，左右顶点距离，得；
焦距，得；
由椭圆关系，
因此椭圆的方程为：；
（2）不存在满足条件的点，
理由如下：由题意得，设，
中点坐标为，直线的斜率方程为，令得，
直线的斜率方程为，
若，则，而，故，
将代入化简得：，
因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：，
此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点.

20.【答案】解：（1）由求导得，
依题意，，解得
（2）因函数的定义域为，
，
当时，，当时，，当时，，
即此时函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减；
若，由解得，
由可得，由可得或，
即函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，由可得，由可得，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则
此时是方程的两个实根，则.
由
，
设，则，将代入，化简得，，
则，，
设，则，故函数在上单调递增，
由题意，，且，即有，故可得，
又因，函数在上单调递增，故，
又因，故得.

21.【答案】解：（1）已知：，.
当时，，，.
，.
.
当时，，，，.
.
.
（2），记（其中为常数且，，，），则对任意的，有.
（且）.
，不妨记的有项，则的有项.
，.
又为奇数，，故仅当时等式成立.
当时，对所有成立，递推可得：
，即.
又，当时，则，结合，得.
当时，，则，进而可得.
综上，，证毕.
（3）当时，且.
记，，故存在.
不妨设（循环数列，可平移下标），即，记，.
对任意，，由三角不等式：
.
同理可得：.
对任意，.
故.
当为偶数时，.
.
当为奇数时，.
.
由可得.
即，证毕.

第1页，共1页

展开更多......

收起↑