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上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ）
A. 表示x与y之间的函数关系 B. 表示x与y之间的不确定关系
C. 反映x与y之间的真实关系 D. 反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
2.已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（ ）
A. 、、
B. 、、
C. 、、
D. 、、（其中为实数）
4.定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 存在函数为函数
B. 若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数
C. 若函数为函数，且在处取得最小值，则
D. 若函数为函数，且恒成立，则为周期函数
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集，集合，则 ．
6.若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝ ．
7.已知f(x)=若f(a)=-2,则实数a的值为 .
8.在ABC中, 若a=7, b=8,C=, 则c= .
9.某校高中三年级600名学生参加了区质量检测, 已知数学检测成绩X服从正态分布N(100,)(试卷满分为150分).统计结果显示,数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名, 则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的 (精确到%).
10.已知直线是曲线y=+x在x=2处的切线,则的斜率为 .
11.从4名男生3名女生中选取3人, 依次进行面试, 其中恰好有1名女生, 则有 种不同的面试方法.
12.一个家庭有两个孩子, 生肖均为十二生肖之一(等可能).已知其中一个孩子属马, 则另一个孩子也属马的概率为 .
13.已知数列{}的通项公式是=+1,为数列{}的前n项和, 则使得不等式>2026成立的最小正整数n的值为 .
14.已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为 ．
15.某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为 米．
16.已知集合M的元素均为正整数, 定义集合M的“变项和”为: 将M中每个元素m都乘以后再求和.若集合A={n|1n2026,nN},则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．
(1)求证：平面PAD；
(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积．
18.(本小题14分)
已知，．
(1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值；
(2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题14分)
某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：
甜度偏好分数
人数 10 25 20 30 10 5
(1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差；
(3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？
20.(本小题18分)
已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
(1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
(2)若，为直角三角形，求点M的坐标；
(3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．
21.(本小题18分)
对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记．
(1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值；
(2)若，，且，．求的值及函数的解析式；
(3)若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】
6.【答案】1+i
7.【答案】-8
8.【答案】3
9.【答案】12.5%
10.【答案】
11.【答案】108
12.【答案】
13.【答案】11
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】（1）证明：取AD的中点O，连接PO,
因为为等边三角形，且O为AD中点，
所以
又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
又平面，因而
因为，，所以
由平面，平面PAD，，
所以平面.
（2）连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD，
所以PC在平面ABCD内的投影为OC，
故是与平面所成的角，即
，由题得，，
因为平面PAD，，所以平面PAD，所以．
因此，，
取CD的中点M，连接BM、QM，
则
所以多面体PQABCD的体积是.

18.【答案】解：（1）若函数是定义在上的奇函数，
则对任意恒成立，
即
即对恒成立．
即对恒成立．
因此．又，故．
因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为；
（2）若，则，
由题意，即对任意恒成立．
令，即，
由，
可知函数在内的两个驻点为，，
比较，，，的大小，
可知函数在上的最小值为．
因此，实数a的取值范围为.

19.【答案】解：（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为
估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7
（2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人．
故，，
因此，X的分布列为
1 2 3
故，.
（3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4，
抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，，
则
当，即时
当，即时
因此，，且，
所以，当时，最大.

20.【答案】解：（1）由题，，得
故
（2）因为点M在第一象限，故不可能为直角；
若，将代入曲线，得符合题意，；
若，设点，则，
则
又因为点M满足，可得，此时，
DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去．
综上，点M的坐标；
（3）由题可得，双曲线，
当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足，
所以直线l的斜率一定存在，
又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，，
设直线l的方程为，、，且，，
联立方程，可得
显然，，
，，故
由，可得，且．
故
因此，
根据对勾函数的性质：在上单调递减，
可知，
又，
故，可得．
所以，直线l斜率的取值范围为，
直线l倾斜角的取值范围为.

21.【答案】解：（1）对任意，所以，
又因为，且，
所以，故函数属于集合．
由，，由二次函数的性质可知，．
故.
（2）由可知，存在满足．
又，故必有．
因此必有，且，所以，
又，，所以或
当时，由题意，对任意，，，即.
又因为，即，故．
故.
当时，由题意，对任意，，，即，
又因为，，即，故
．
综上，当时，；当时；.
（3）先证必要性：若是定义在上的增函数，
设任意正实数、满足，
则，，．
因此，得证．
若是定义在上的减函数，
设任意正实数、满足，
则，，．
因此，得证．
综上，必要性得证.
再证充分性：（反证法）假设函数在上不单调，
则必存在，使得或．
不妨设，且是函数在区间上的最大值．
设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为
由题，，，
故，又，
故
即，
即，即，
，矛盾．
因此假设不成立.是上的单调函数．
因此，是单调函数的充要条件是：对任意正实数，
恒成立

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