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上海市金山区2025-2026学年第二学期质量监控高三数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为 h．这里的总体是（ ）
A. 该校所有学生
B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间
C. 所调查的100名学生
D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间
2.函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
3.已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
4.已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式的解集为 ．
6.已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 ．
7.将化成有理数指数幂的形式为 .
8.设若是的充分条件,则实数的取值范围是 .
9.已知角为第四象限角，且，则 ．
10.已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为_____ ____．
11.已知随机变量的分布为，则期望 ．
12.若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有 种．
13.已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为 ．
14.已知在中，．若点为外接圆的圆心，则 ．
15.已知是数列的前项和，且，且．若，则 ．
16.申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装 的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
数据 1 2 3 4 5 6
温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05
压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758
(1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）
(2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）
(3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67
18.(本小题14分)
已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）
19.(本小题14分)
已知函数，其中．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．
20.(本小题18分)
已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．
(1)若，求点的坐标；
(2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程；
(3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围．
21.(本小题18分)
若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．
(1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；
(2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；
(3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】2
12.【答案】12
13.【答案】16
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）（），
.
（2），
将，即代入，
解得，所以回归方程为，
令，解得（），
预估该次实验下绝对零度的数值为.
（3）因为，，
，，
，，
所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，
所以

18.【答案】解：（1）因为长方形中，，折叠过程中，，
又平面，平面，故平面，
同理可得平面，
又，平面，所以平面平面；
（2）因为长方形中，点、分别为边、的中点，
故，二面角的平面角为，即，
又，所以，为等边三角形，
同理可得为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
又⊥平面，平面，故⊥，
因为，平面，故⊥平面，
故直线与平面所成角为，
，，故，由勾股定理得，
则，
直线与平面所成角的大小为.

19.【答案】解：（1）由可得，
又为严格单调递增函数，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，
所以，，
由可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，
故的极小值，又当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上，实数的取值范围.

20.【答案】解：（1）由可知，
因为，所以，
即，解得，
代入抛物线方程，，
所以点的坐标为或.
（2）联立方程，可得，即，
因为只有一个交点，
所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时；
当时，则需，解得，
此时.
综上，直线的方程为和.
（3）设，
由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为，
即，
由圆知，圆心，半径，
所以，即，
设，
代入切线方程可得，，
所以，（其中分别是的斜率）
所以，
又，
令，则，
令，则，
所以，
因为，所以，所以，
故求的取值范围为.

21.【答案】解：（1）由，
由，得，从而有，即得，
即，
从而函数在区间上为封闭函数；
（2）由，，
函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
根据题意在区间上不为单调函数，得，
从而函数在区间单调递减，在区间单调递增，
从而，，
由函数在区间上为封闭函数，即有，
从而，即，
那么，即得，
即的最大值为；
（3）由函数在区间上连续且为封闭函数，令，
从而函数在区间上连续，
函数在区间上为封闭函数，
从而，，即有，，
由函数在区间上连续，且，
故存在，使得，即，
假设存在，且，使得，，
则，
又因为任意的、，都有成立，
所以矛盾，
所以存在唯一的常数，使得，
数列满足，且，
当，那么，那么，，
可知数列中的，且，
那么由，则，
，
由，所以，
则，即有.
故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．

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