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2026年云南省昆明市普通高中高考数学诊断试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=-1+2i,则|z|=（　　）
A. B. 2 C. D.
2.已知向量=（2，x），=（x,3），若⊥，则x=（　　）
A. -1 B. -5 C. D. 0
3.已知平面α，β和直线m，且m α，则“α∥β”是“m∥β”的（　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f（x）=2|x|+|x|，x∈[-1，2]，则f（x）的最大值与最小值之差为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.在△ABC中，已知，，则sinBcosA=（　　）
A. B. C. D.
6.若函数在x=1处的切线也是圆（x-2）2+（y-1）2=r2的切线，则半径r=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
7.降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发、渗漏、流失），以mm计算.24h降雨量的等级划分如下：
降雨量 0.1～9.9 10～24.9 25～49.9 50～99.9 100～249.9 ≥250
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨
某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为50mm,底面半径为100mm,高为50mm的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了24h的雨水后，桶内水深为20mm,则当日降雨量的等级是（　　）
A. 暴雨 B. 大雨 C. 中雨 D. 小雨
8.已知数列{an}满足a1=1，，记{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A. a2026（S2025-1）=1 B. a2025（S2026-1）=1
C. a2026（S2025+1）=1 D. a2025（S2026+1）=1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知点M（1，-2），N（5，-2）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0）图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为4
B. f（3）=2
C. f（x）的图象关于点（3，0）中心对称
D. f（x）在区间（0，3）内的零点个数为1
10.已知一组数据由6个正整数构成，且同时满足以下条件：①平均数为10；②中位数为9；③8是唯一的众数；④极差为12，则这组数据（　　）
A. 必含有9 B. 恰含有2个8 C. 方差是定值 D. 第25百分位数为8
11.若曲线Γ由半圆x2+y2=1（x≤0）和半椭圆组成，若直线y=t与Γ交于A，B两点（A在B的左侧），C（1，0），D（-1，0），则（　　）
A.
B. |AC|+|AD|的最大值为
C. 存在t∈R，使得四边形ABCD是平行四边形
D. △ABC面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}的前3项和为9，且a3=2a1，则a4= .
13.已知正六边形ABCDEF，双曲线Γ以A，D为焦点，且B，C，E，F四点在Γ上，则Γ的离心率为 .
14.已知函数f（x）=kln（1+x）+e1-x（k∈N*），若y=f（x）图象上任取三个点均可构成钝角三角形，则k的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知b=3，.
（1）求cosA；
（2）若△ABC的面积为，求a.
16.(本小题15分)
已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与Γ交于A，B两点，|AB|=4.
（1）求Γ的标准方程；
（2）过F的直线与Γ交于C，D两点（点A，D在x轴上方），直线AC交y轴于点E，求证：EF∥BD.
17.(本小题15分)
低空经济是区域经济发展的新引擎，某无人机物流枢纽中心计划在甲、乙两条航线中选定一条作为常态化航线.为评估航线性能，该中心进行了多次模拟测试.经统计分析，甲航线在连续12次测试中，单次测试成功率为p（0＜p＜1），各次测试相互独立，记其成功次数为X，P（X=7）=25P（X=5）；乙航线在n（n∈N*）次测试中成功次数为Y，且E（Y）=n,D（Y）=n.
（1）求p的值；
（2）为量化两条航线的综合表现，该中心引入“稳定性系数”的评估指标：稳定性系数λ=，λ越小，表示稳定性越好，综合表现越优.当n=12时，分别计算甲、乙两航线的稳定性系数，并以此判断哪条航线的综合表现更优；
（3）若每次任务执行成功能盈利200元，执行失败则亏损80元.根据（2）的结论，选择综合表现更优的航线，根据测试数据估计该航线执行k（k∈N*）次任务的利润的期望.
18.(本小题17分)
如图，直角△ABC，斜边AB=4，B=，D为AB的中点，将△ACD沿CD翻折到△PnCD（n∈N*），设二面角Pn-CD-A的大小为θn，满足.
（1）证明：CD⊥APn；
（2）求直线P5C与平面ABC所成角的大小；
（3）当四面体PnCDPn+1的体积最大时，求n.
19.(本小题17分)
设函数.
（1）当，
（i）若a=0，讨论f（x）的单调性；
（ii）若a∈[0，+∞），求f（x）极值点的个数；
（2）对任意，总存在a∈[0，+∞），使得2f（x）≤a+b,求b的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BD
11.【答案】ACD
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】 3
16.【答案】y2=4x 由（1）知，A（1，2），B（1，-2），F（1，0），
由题意知，过F的直线的斜率一定不为0，设其方程为x=ty+1（t≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消去x得，y2-4ty-4=0，
所以y1+y2=4t，y1y2=-4，
由A（1，2），C（x1，y1），知直线AC的方程为y=（x-1）+2，
令x=0，则y=-+2，即E（0，-+2），
所以直线EF的斜率为kEF=-2，
而直线BD的斜率为kBD=，
所以kEF-kBD=-2-=--2=-2
=-2=-2=2-2=0，
即kEF=kBD，
所以EF∥BD
17.【答案】 ，甲航线综合表现更优 k元
18.【答案】依题意，斜边AB=4，，有AC=AD=CD=2，取CD中点O，
因为AO⊥CD，PnO⊥CD，AO∩PnO=O，AO，PnO 平面PnOA，所以CD⊥平面PnOA，
又APn 平面PnOA，所以CD⊥APn 4
19.【答案】（i）在上单调递减，在上单调递增；（ii）1个
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