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浙教版数学七年级下册 5.4 分式的加减 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·贵阳期中）分式与的最简公分母是(　　)
A．2m+2 B．m+2 C．m+1 D．m2-1
2．若 ， 则 等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·石家庄模拟）关于式子，下列说法正确的是（　　）
A．当时，其值为2 B．当时，其值为0
C．当时，其值为正数 D．当时，其值为正数
4．已知实数 a，b满足ab=1，设 则 M，N的大小关系是 （　　）
A．M>N B．M5．若计算 的结果是 则*代表的运算符号为 (　　)
A．+ B．- C．× D．÷
6．已知 则 (　　)
A． B． C． D．1
7．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·南山开学考）如果，那么的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
9．（2024七下·嘉兴月考）当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　），
A．2015 B．1 C．0 D．-1
10．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．
二、填空题
11．（2024·内江）已知实数a，b满足，那么的值为　 　.
12．（2025八上·临海期末）如图，标号为①，②，③，④的四个长方形以不重叠的方式围成长方形．已知①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6．设，，且．则为　 　．
13．若对任意自然数n都成立，则a=　 　，b=　 　．
14．定义新运算：a b=，若a (-b)=3，则的值是　 　.
15．（2023·）若，则A+B+C=　 　
三、解答题
16． 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同， 妈妈每次加油都说 “师傅， 给我加 200 元油” (油箱未加满)， 而爸爸则说： “师傅， 帮我把油箱加满！” 小明很好奇： 现实生活中油价常有变动， 爸爸妈妈不同的加油方式， 哪种方式会更省钱呢？ 现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时油价为 元/升，第二次加油时油价为 元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格 (用含 的代数式表示)．
（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中， 谁的加油方式更省钱？ 用所学数学知识说明理由．
17．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：2m+2=2(m+1).
∴ 分式与的最简公分母是 ：2（m+1）=2m+2。
故答案为：A。
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】先找出、、的最简公分母是6x，然后根据分式的基本性质进行计算即可.
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：
＝
＝，
∵，
∴或，，
∴A．由，故A说法错误，不符合题意；
B．由，故B说法错误，不符合题意；
C．当时，，故C说法错误，不符合题意；
D．当时，，故D说法正确，符合题意．
故选：D．
【分析】先根把除法化为乘法，再因式分解并约分化简，然后确定x的取值范围，再注意判断即可．
4．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
=0
∴M＝N
故答案为：C
【分析】计算M-N，根据差的正负判断M和N的大小关系。当M-N＝0时，M＝N；当M-N＞0时，M＞N；当M-N＜0时，M＜N。
5．【答案】D
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：原式 观察两边等式可知
故答案为：D.
【分析】根据计算的结果，结合进行分式* 表示加减乘除分别计算，对比结果 ，* 表示运算符号是.
6．【答案】D
【知识点】分式的加减法；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：已知 ，
∴，
∴，
已知，
∴，
∴，
将，代入，
可得：，
故答案为：D.
【分析】本题主要涉及等式的性质和分式的运算，通过已知的两个等式，分别对a、c进行变形，得到三与c关于b的表达式，再将其代入 进行计算得出结果.
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：.
故答案为：B.
【分析】
由于这个人自A地到B地再返回A地路程时不改变的，因此可以设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可解答.
8．【答案】D
【知识点】分式的值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】将已知式子适当变形，再将待求式子变形后整体代入求值.
9．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：设x=m时，
设x=-时，
∴它们的和为：=0
因此当x取值互为负倒数时，它们的和为0
∵当x=0时，=-1
故答案为：D.
【分析】通过观察，发现x的取值是互为负倒数的，因此设x=m和x=-分别代入分式，结果再相加，发现规律，从而再求出x=0时分式的值即可.
10．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
11．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案为：1.
【分析】将1=ab代入分式，然后进行化简即可.
12．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；分式的加减法
【解析】【解答】解：，，①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由已知条件和长方形的面积等于长×宽可将MH、MG用含a、b的代数式表示出来，由线段之间的和差关系，可将HG、EH用含a、b的代数式表示出来，根据长方形的面积公式可得可得关于a、b的等式，结合完全平方公式可将a用含b的代数式表示出来，将其代入计算即可求解．
13．【答案】；
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
而
∴2n(a+b)+a-b=1
∵原式对任意自然数n都成立，
∴必有a+b=0， a-b=1
∴，
故答案为：；.
【分析】计算，再根据结果与相等，得出分子相等，根据原式对任意自然数n都成立，推导出a，b
14．【答案】-
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵a (-b)=3，
∴=3，
∴=3，3ab=b-a，
∴=-=-.
故答案为：-.
【分析】先根据新运算将a (-b)=3变形得3ab=b-a，再整体代入即可求解.
15．【答案】5
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
且=
∴A +B=6，-2A +B +C=-7，2A +C=7，解得A=4，B=2，C=-1，A +B+C=5．
故答案为：5.
【分析】对等式右侧通分，进一步利用待定系数法得出等量关系并解方程组即可.
16．【答案】（1）解：由题意可得，
妈妈两次加油的总量是 (升)，妈妈两次加油的平均价格是 (元/升)，即妈妈两次加油的总量是 升， 妈妈两次加油的平均价格是 元/升．
（2）解：设油箱的容积是 升，
则爸爸两次加油的平均价格是 (元/升)， ．
当 时， 爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当 时，妈妈的加油方式更省钱．
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示实际问题中的数量关系；分式的除法；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据等量关系“加油总量=第一次加油量+第二次加油量”以及“平均价格=两次总价格÷加油总量”列出代数式并计算即可；
（2）先表达出爸爸的加油方式下的平均价格，然后用妈妈的加油方式下的平均价格减去爸爸的加油方式下的平均价格，根据结果的形式，分析出不同的x、y的大小情况下哪种方式更省钱.
17．【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
1 / 1浙教版数学七年级下册 5.4 分式的加减 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·贵阳期中）分式与的最简公分母是(　　)
A．2m+2 B．m+2 C．m+1 D．m2-1
【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：2m+2=2(m+1).
∴ 分式与的最简公分母是 ：2（m+1）=2m+2。
故答案为：A。
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案。
2．若 ， 则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】先找出、、的最简公分母是6x，然后根据分式的基本性质进行计算即可.
3．（2024·石家庄模拟）关于式子，下列说法正确的是（　　）
A．当时，其值为2 B．当时，其值为0
C．当时，其值为正数 D．当时，其值为正数
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：
＝
＝，
∵，
∴或，，
∴A．由，故A说法错误，不符合题意；
B．由，故B说法错误，不符合题意；
C．当时，，故C说法错误，不符合题意；
D．当时，，故D说法正确，符合题意．
故选：D．
【分析】先根把除法化为乘法，再因式分解并约分化简，然后确定x的取值范围，再注意判断即可．
4．已知实数 a，b满足ab=1，设 则 M，N的大小关系是 （　　）
A．M>N B．M【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
=0
∴M＝N
故答案为：C
【分析】计算M-N，根据差的正负判断M和N的大小关系。当M-N＝0时，M＝N；当M-N＞0时，M＞N；当M-N＜0时，M＜N。
5．若计算 的结果是 则*代表的运算符号为 (　　)
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】D
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：原式 观察两边等式可知
故答案为：D.
【分析】根据计算的结果，结合进行分式* 表示加减乘除分别计算，对比结果 ，* 表示运算符号是.
6．已知 则 (　　)
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】分式的加减法；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：已知 ，
∴，
∴，
已知，
∴，
∴，
将，代入，
可得：，
故答案为：D.
【分析】本题主要涉及等式的性质和分式的运算，通过已知的两个等式，分别对a、c进行变形，得到三与c关于b的表达式，再将其代入 进行计算得出结果.
7．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：.
故答案为：B.
【分析】
由于这个人自A地到B地再返回A地路程时不改变的，因此可以设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可解答.
8．（2024九上·南山开学考）如果，那么的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式的值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】将已知式子适当变形，再将待求式子变形后整体代入求值.
9．（2024七下·嘉兴月考）当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　），
A．2015 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：设x=m时，
设x=-时，
∴它们的和为：=0
因此当x取值互为负倒数时，它们的和为0
∵当x=0时，=-1
故答案为：D.
【分析】通过观察，发现x的取值是互为负倒数的，因此设x=m和x=-分别代入分式，结果再相加，发现规律，从而再求出x=0时分式的值即可.
10．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
二、填空题
11．（2024·内江）已知实数a，b满足，那么的值为　 　.
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案为：1.
【分析】将1=ab代入分式，然后进行化简即可.
12．（2025八上·临海期末）如图，标号为①，②，③，④的四个长方形以不重叠的方式围成长方形．已知①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6．设，，且．则为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；分式的加减法
【解析】【解答】解：，，①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由已知条件和长方形的面积等于长×宽可将MH、MG用含a、b的代数式表示出来，由线段之间的和差关系，可将HG、EH用含a、b的代数式表示出来，根据长方形的面积公式可得可得关于a、b的等式，结合完全平方公式可将a用含b的代数式表示出来，将其代入计算即可求解．
13．若对任意自然数n都成立，则a=　 　，b=　 　．
【答案】；
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
而
∴2n(a+b)+a-b=1
∵原式对任意自然数n都成立，
∴必有a+b=0， a-b=1
∴，
故答案为：；.
【分析】计算，再根据结果与相等，得出分子相等，根据原式对任意自然数n都成立，推导出a，b
14．定义新运算：a b=，若a (-b)=3，则的值是　 　.
【答案】-
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵a (-b)=3，
∴=3，
∴=3，3ab=b-a，
∴=-=-.
故答案为：-.
【分析】先根据新运算将a (-b)=3变形得3ab=b-a，再整体代入即可求解.
15．（2023·）若，则A+B+C=　 　
【答案】5
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
且=
∴A +B=6，-2A +B +C=-7，2A +C=7，解得A=4，B=2，C=-1，A +B+C=5．
故答案为：5.
【分析】对等式右侧通分，进一步利用待定系数法得出等量关系并解方程组即可.
三、解答题
16． 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同， 妈妈每次加油都说 “师傅， 给我加 200 元油” (油箱未加满)， 而爸爸则说： “师傅， 帮我把油箱加满！” 小明很好奇： 现实生活中油价常有变动， 爸爸妈妈不同的加油方式， 哪种方式会更省钱呢？ 现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时油价为 元/升，第二次加油时油价为 元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格 (用含 的代数式表示)．
（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中， 谁的加油方式更省钱？ 用所学数学知识说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
妈妈两次加油的总量是 (升)，妈妈两次加油的平均价格是 (元/升)，即妈妈两次加油的总量是 升， 妈妈两次加油的平均价格是 元/升．
（2）解：设油箱的容积是 升，
则爸爸两次加油的平均价格是 (元/升)， ．
当 时， 爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当 时，妈妈的加油方式更省钱．
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示实际问题中的数量关系；分式的除法；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据等量关系“加油总量=第一次加油量+第二次加油量”以及“平均价格=两次总价格÷加油总量”列出代数式并计算即可；
（2）先表达出爸爸的加油方式下的平均价格，然后用妈妈的加油方式下的平均价格减去爸爸的加油方式下的平均价格，根据结果的形式，分析出不同的x、y的大小情况下哪种方式更省钱.
17．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
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