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2026年山东济南市历下区九年级学业水平第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中为无理数的是（）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（）
A. B. C. D.
3.“十四五”期间，济南市打造了市一体化大数据平台，建成全市通用共享“数据湖”，累计汇聚数据约47400000000条，有效支撑了多种应用场景．数据47400000000可用科学记数法表示为（）
A. 474×108 B. 4.74×109 C. 4.74×1010 D. 0.474×1011
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
6.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（　　　）
A. AD=BD B. BC // DE C. ∠A=∠ABE D. ∠DEA=∠BEC
8.2026年央视春晚创新推出AI智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ BAC内交于点O，作射线AO；
②分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 P和Q，作直线PQ交AO于点D，连接BD，CD．
根据以上作图，若AB=6，AC=4，BD=3，则点D到直线AB的距离为（　　　）
A. B. C. D.
10.如图1, 在ABC中, AD为边BC上的中线, 将ABD沿射线BC的方向平移得EFG, 设平移的距离为x,EFG与ACD重叠的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,有以下结论:BC=6;ABC的面积为10;点(5,)在y与x的函数图象上;y的最大值为.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： .
12.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
13.如图，的顶点在正六边形的边上，，则 ．
14.小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为 h．
15.如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.计算：．
四、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18.(本小题5分)
已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，AE=CF.求证：∠ADF=∠CDE.
19.(本小题8分)
如图，在四边形中，，，，，，连接．
(1) 求平行线与间的距离；
(2) 求的值．（参考数据：，，）
20.(本小题8分)
如图，为的直径，点为上一点，连接，点是的中点，连接，，弦与弦交于点，点在的延长线上，连接，．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求线段的长．
21.(本小题12分)
为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业5年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息：
a．调查问卷的部分信息如下：
调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项： 以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A．人才公寓 B．技能培训 C．子女托管 D．交友联谊
b．不完整的条形统计图和扇形统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 本次共调查了 名青年人才；
(2) 扇形统计图中“技能培训”对应的圆心角为 度；
(3) 请补全条形统计图；
(4) 按照“项目赋能年”规划，2026年济南市计划引进3000名青年人才．根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数．
22.(本小题8分)
随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同．
(1) 求两种型号计数跳绳的单价；
(2) 该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
23.(本小题8分)
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1) 求的值；
(2) 为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为．
①如图1，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于，当时，求的长度；
②如图2，连接，若，求的值．
24.(本小题8分)
二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，顶点为．
(1) 求二次函数的表达式和顶点的坐标；
(2) 将二次函数的图象沿直线平移得到一个新函数的图象M，顶点为．
①如图1，连接，，，求的面积；
②如图2，设新函数的图象M与轴交于点和，连接，，，若，求新函数的表达式．
25.(本小题8分)
在矩形中，，连接对角线．在中，，．
(1) 如图1，当点分别在边上时，请完成填空： ， ；
(2) 将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接．
①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长；
②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：原式
.
17.【答案】解：解不等式，
去括号得，
移项，合并同类项得；
解不等式，
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
在△DAE和△DCF中，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∴∠ADE+∠EDF=∠CDF+∠EDF，
∴∠ADF=∠CDE．
19.【答案】【小题1】
解：过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即平行线与间的距离为；
【小题2】
解：过点作于点，
由（）知，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：在中，
是所对的圆周角
，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
是的切线．
【小题2】
解：点是的中点，
，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，
，
．

21.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：调查中最希望得到人才公寓服务的人数为（人），
补全条形统计图
【小题4】
解：（人），
答：估计最希望得到人才公寓服务的人数为人．

22.【答案】【小题1】
解：设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元，
根据题意，得
，
解得
经检验是原方程的解．
此时．：
答：A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元．
【小题2】
解：设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，即，，且a为非负整数，
根据题意，得
由，得w随a增大而减小，
，且a为非负整数，
∴当时，w取得最小值，最小值为(元)，
答：购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元．

23.【答案】【小题1】
解：∵在直线上，
∴，解得：，
∵在反比例函数图象上，
∴；
【小题2】
①过点作轴于交于点，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∵在直线上，
∴，
解得，
∴；
②解：过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，
即：，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∵，
∴

24.【答案】【小题1】
解：将点，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为，
对称轴为，
将代入得：，
顶点的坐标为；
【小题2】
解：①将代入得：，
，
设直线的解析式为，
将、代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
函数的图象沿直线平移得到图象M，顶点为，
，
，
连接、，过点D向轴作垂线，交于点H，垂足为点P，过点C作于点Q，如图：
轴、，
将代入得：，
，
、、，
，
，
，
即，
；
②由①可知，直线的表达式为、，
则设直线的表达式为，
将点代入得：，
解得，
直线的表达式为，
设点，
则新抛物线表达式为，
设、，
令得：，
由韦达定理得：，
，
，
、、、，
，
即，
交叉相乘得：，
整理得：，
令或，
解得（舍去）或，
，
解得或（舍去），
当时，，
，
新抛物线表达式为．

25.【答案】【小题1】
6

【小题2】
解：①∵，
∴，
∴；
由（1）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，在上截取，连接，则，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
∵，
∴当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为．

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