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2026年云南省临沧市初中学业水平模拟检测数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.早在两千多年前的《九章算术》中就出现了正负数的概念和运算方法．正负数的引入是数学发展中的一个重要里程碑，它使得数学能够更准确地描述和解决现实生活中具有相反意义的数量关系，极大地拓展了数学的应用范围．如果盈利300元记作元，那么亏损200元记作（ ）
A. 100元 B. 元 C. 200元 D. 元
2.2025年1月20日,中国有“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置(EAST)在安徽合肥创造新世界纪录, 首次完成1亿摄氏度1000秒“高质量燃烧”.数字“1亿”用科学记数法表示为（）
A. 1 B. 10 C. 10 D. 0.1
3.如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°
4.反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
5.某班教室里的一个装饰品是由几个几何体组成的，其中一个几何体的三视图如图所示．这个几何体是（）
A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体
6.要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.下面四种化学仪器的示意图不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
8.下列运算中，正确的是（）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
10.一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（ ）
A. B. C. D.
11.一个多边形的内角和等于360°，则这个多边形的边数是（）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12.某校从“纪律”“考勤”“卫生”“活动”四个方面对班级考核打分，进行优秀班级评选，各项满分均为分，所占比例如下表：
项目 纪律 考勤 卫生 活动
所占比例
九年级（3）班这四项的得分依次为，，，，则该班这四项的综合得分为（ ）
A. B. C. D.
13.估算应在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
14.某市为了满足新能源汽车充电的需求，计划再建一批快充充电桩．第一个月新建了360个充电桩，第三个月新建了480个充电桩．设该市新建快充充电桩个数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
15.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
16.分解因式： ．
17.如图，，，则与的周长之比为 ．
18.为了解学生寒假期间参与社会实践活动时间的情况，某校对九年级部分学生参与社会实践活动时间的情况展开调查，并画出了相应的频数分布直方图（如图）（每组数据含最小值，不含最大值）．若该校九年级共有名学生，则该校九年级学生参与社会实践活动的时间不低于小时的人数是 ．
19.课后辅导特色课上，小明用一张圆心角为的扇形制作了一个圆锥，计算得扇形的弧长为，则此圆锥的侧面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
20.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
如图，，求证：．
22.(本小题5分)
在夏季球类运动会举行期间，初三（6）班预计用90元为班级球员购买矿泉水，数学课代表发现超市有优惠活动；购买瓶装矿泉水可以打9折．经计算按优惠价购买能多买5瓶，求每瓶矿泉水的原价．
23.(本小题5分)
人工智能（英文名：Artificial Intelligence．英文缩写：AI）是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．AI软件是非常强大的人工智能助手．小明和小红分别将从A．讯飞星火、B．豆包、C．ChatGPT、D．Deepseek这四个AI软件中随机选取一个使用．已知每个软件被抽中的可能性相同．
(1) 求小明选中“B．豆包”的概率．
(2) 请用画树状图或列表的方法求出小明和小红都选中Deepseek的概率．
24.(本小题4分)
如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE．
(1) 求证：四边形BECD是菱形；
(2) 如果，，求四边形BECD的面积．
25.(本小题5分)
为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本地农户合作社手工制作的具有本地文化特色的衬衣和T恤进行线上销售，它们的进价和售价如下表．已知购进一件衬衣比一件T恤的进价贵元，用元恰好可购进衬衣件和 T恤5件．
种类 衬衣 T恤
进价（元/件） a b
售价（元/件）
(1) 分别求出表中a、b的值；
(2) 若该电商计划购进衬衣和T恤两种服饰共件，据市场销售分析， T恤进货件数不少于衬衣件数的2倍，如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
26.(本小题6分)
如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），当时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点．已知函数（是常数，）．
(1) 求证：无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点．
(2) 若函数的图象与轴只有一个公共点，试比较与的大小．
27.(本小题8分)
“小时不识月，呼作白玉盘．”2025年春晚节目《玉盘》：“玉盘玉盘，你为何悬于屋顶上？……”从远古问月到现在的探月工程，都体现了中华民族对宇宙穷极探索的追寻．“圆”——宛如那无瑕的玉盘，承载着无尽的奇妙与神秘，静静悬于数学的浩瀚星空．请用所学数学知识解决下面问题：
如图1，点A，B，C是上的三个点，，延长至点D，连接，，点F在的延长线上，与相切于点G，过点A作的平行线与切线交于点E．
(1) 求证：是的直径．
(2) 求证：是的切线．
(3) 如图2，连接，过点G作，交于点M．判断与的数量关系，并说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】B
13.【答案】D
14.【答案】A
15.【答案】B
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】88
19.【答案】
20.【答案】解：
．

21.【答案】证明：∵，
∴，即，
在中，
∴．

22.【答案】解：设每瓶矿泉水的原价为x元．
由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：每瓶矿泉水的原价为2元．

23.【答案】【小题1】
解：小明选中“B．豆包”的概率是．
【小题2】
列表如下：
小红 小明 A B C D
A
B
C
D
由上表可知，一共有16种等可能的结果，其中小明和小红都选Deepseek的结果有1种，所以（小明和小红都选Deepseek）．

24.【答案】【小题1】
证明：∵中，，
∴，
∴．
∵DE平分∠BDC，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形BECD是平行四边形．
又∵，
∴四边形BECD是菱形；
【小题2】
解：∵中，，，
∴，，
由（1）知四边形BECD是菱形，
∴，，
在中，由勾股定理可得，，
∴，
∴，
即四边形BECD的面积为24．

25.【答案】【小题1】
解：由题意得，，解得，
∴a、b的值分别为260，80；
【小题2】
解：设购进衬衣件， T恤件，利润为元，
则由题意得，，解得，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，利润最大，最大利润（元），
∴（件），
∴ 购进衬衣件， T恤件时，利润最大，为元．

26.【答案】【小题1】
证明：当时，，
∴无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点．
【小题2】
解：∵，
∴当函数的图象与轴只有一个公共点时，关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴函数解析式为．
∵函数的图象与轴只有一个公共点，
∴，
∴，，
∴，，
∴．

27.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴是的直径．
【小题2】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的直径，
∴是的切线，
【小题3】
解：．
理由：如图，延长，交于点，
∵，，
∴．
∵是的直径，
∴是的切线，切点为，
∵，都是的切线，切点分别为点，，
∴，，
设，，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴．

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