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山东省枣庄市台儿庄区2025~2026学年度九年级第一次调研考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（）
A. B. C. D.
4.依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
5.现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知a是方程的解，则代数式的值为（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
7.如图,PA与O相切于点A,PO的延长线交O于点C,AB//PC,且交O于点B.若P=,则BCP的大小为()
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C，AO＝BO＝BP．若△ABP的面积是4，则k的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
9.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程 恰有一个正整数解 ．类似地，方程 的正整数解的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，则的值为 .
12.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
13.不等式组的解集为 ．
14.如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为
15.如图，在中，已知，点C为的中点，过点C作轴，垂足为D，将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为
16.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
先化简，再求值：，其中
19.(本小题8分)
如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M．
(1) 求的度数
(2) 求点M到射线的距离
20.(本小题12分)
2025年4月23日是第30个世界读书日，主题为“阅读：通往未来的桥梁”．为推广读书活动，某校随机抽取部分九年级学生进行了一次问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出了部分信息：
a：将周末读书时间进行排序处理，所得数据中的部分信息为：…80，90，90，90，100，100，100，110…；
b：将周末读书时间的数据进行整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图如下：
（分为4组：A：；B：；C：；D：）
调查问卷请根据实际情况答题：1．您周末的读书时间为 分钟．2．请您为学校的读书活动打分（最满意为5分）（_____） A．1分 B．2分 C．3分 D．4分 E．5分
c：不完整的读书活动打分统计表：
1分 2分 3分 4分 5分
人数 1 10 24
占比
根据以上信息回答下列问题：
(1) 请补全条形统计图，并判断本次调查属于 （填“抽样调查”或“普查”）；
(2) 扇形统计图中D组对应扇形的圆心角为 度；
(3) 随机抽取学生的周末读书时间的中位数为 分钟；
(4) 请计算随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分．
21.(本小题8分)
如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到所在直线的距离．；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为此时测得（点C、A、在同一直线上，且直线（与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：）
(1) 求绳子的总长；
(2) 求物体上升的高度．（结果精确到）
22.(本小题8分)
如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点．
(1) 求证：是的切线．
(2) 若，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题9分)
(1) 问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为_ _；
②∠AMB的度数为_ _．
(2) 类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠ AMB的度数，并说明理由；
(3) 拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点 C与点M重合时AC的长．
24.(本小题9分)
已知二次函数．
(1) 若二次函数的图象与轴交于点，求该二次函数的表达式．
(2) 若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
(3) 若二次函数经过点，，当时，求的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】
/
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】解：
．
把代入，得．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示：
根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
∵，
∴，，
∴；
【小题2】
根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的平分线，，
∴点M到射线的距离为．

20.【答案】【小题1】
解：调查的总人数为（人）
∴A组的人数为（人）
∴D组的人数为（人）
补全统计图如下：
本次调查属于抽样调查；
【小题2】
108
【小题3】
100
【小题4】
解：打2分的人数为（人）
∴打5分的人数为（人）
∴（分）
∴随机抽取的学生对学校读书活动打分的平均分为分．

21.【答案】【小题1】
解：由题意得，，
，，
在中，由，得：，
，
在中，由勾股定理得，，
绳子总长，
答：绳子总长为；
【小题2】
解：在中，，
，
，
由题意得，，
，
，
答：物体上升的高度约为．

22.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
【小题2】
解：如图，作于点，
由（1）知：，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．

23.【答案】【小题1】
1
40°
【小题2】
类比探究：
如图2，，∠ AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，∠ CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
【小题3】
拓展延伸：
①点C与点M重合时，如图3，
同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC= x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
( x)2+(x 2)2＝(2)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3；
②点C与点M重合时，如图4，
同理得：∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC= x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
( x)2+（x+2）2=(2)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2；.
综上所述，AC的长为3或2．

24.【答案】【小题1】
解：根据题意，得与y轴的交点坐标为，
又二次函数的图象与轴交于点，
故，
解得，
故．
【小题2】
解：∵根据的最小值为，
∴
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∵该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，
∴，
∴对称轴为直线，且时，函数取得最小值，最小值为；
当抛物线开口向上，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵，
∴时，取得最大值，且，时，，
∵在范围内，
∴函数的最小值为，
∴二次函数的最大值与最小值的和为．
【小题3】
解：二次函数经过点，，
故，
，
又，
故，
故，
令，
当时，，
解得或，
由抛物线开口向上，故时，m的取值范围是或，
又，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．

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