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湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期第一次大练习数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
4．在 的展开式中，的系数为（ ）
A．-40 B．40
C．-80 D．80
5．如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知点在抛物线上，点到的焦点的距离与到直线的距离之比为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示：
温度 28 25 22 19 16
相对湿度 41 48 62 65 70
已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ）
A．与负相关
B．经验回归直线一定经过点
C．当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%
D．样本相关系数
10．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
11．如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，下列说法中正确的是（ ）
A．在线段上存在点，使平面
B．点到平面的距离的最大值为
C．当三棱锥外接球的表面积为时，平面平面
D．当平面平面时，四棱锥的过的截面面积的最小值为
三、填空题
12．已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______.
13．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______.
14．双曲线的左 右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率__________.
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值．
16．已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.
17．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的三棱锥．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由．
18．袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为
(1)求随机变量的分布列；
(2)设用含的式子表示
(3)求
19．设a为实数，函数
(1)当时，分析的单调性；
(2)若，证明：；
(3)若任意满足的非负实数对 恒成立，求 M的最小值．
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．C
5．C
6．C
7．A
8．C
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．
13．
14．2
15．（1）由及正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，所以，
所以
（2）因为，所以，
则，
所以，
又由余弦定理得，可得，
联立方程解得，
由角平线定理得
16．（1）由题，解得，，，∴椭圆的方程为
（2）由题，当的斜率不存在时，此时，直线与轴的交点，不满足题意；
当的斜率存在时，设直线，
与椭圆联立得，，
设，则，，
又的垂直平分线方程为，由，解得，
，，∵为等边三角形，
，即，
解得或，∴直线的方程为或；
综上可知，直线的方程为y=0或.
17．（1）根据离散曲率的定义得，
，
又因为
所以．
（2）∵平面平面，∴，
又∵，平面，
∴平面
∵平面，∴，
∵，即
∴，∴，
过点作交于，连接，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
则，
设，
依题意可得，，
，
，
由假设可得，
在中，
，
又，所以，
则，
所以，
解得：或（舍）
即，故，
所以点为线段的靠近点的三等分点时，直线与平面所成角的余弦值为，此时.
18．（1）根据题意的可能取值为，
即一次摸球摸到白球，，
即一次摸球摸到黑球，，
所以的分布列为
4 5
（2）设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6，
则，
，
，
所以．
（3）由（2）及得，
，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
19．（1）当时, ，
则
，
由于，则，
故当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
令，可得，
令，即，解得，设，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故的最小值为，
由于，，则，则，
故，
故，即，即；
（3）由题意知任意满足的非负实数对 恒成立，
即有，则，
即对任意的，需恒成立，
由于，故令，
则在时单调递减，则，
故只需，即，
令，，
,
当时，，
此时，在上单调递增，则，成立；
当时，显然；
若，则计算，
即当时，，不符合题意；
故M的最小值为2.

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