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安徽省合肥市合肥经济技术开发区2025-2026学年下学期九年级学情调研试卷（数学）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.﹣2026的相反数是（）
A. ﹣2026 B. 2026 C. D.
2.下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（）
A. B. C. D.
3.下列四个数中，最小的是（）
A. B. C. D.
4.下列式子正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.从“大美经开”4个字中任选2个字，则选出“经、开”两字的概率为（）
A. B. C. D.
7.已知点在抛物线上，若，则（）
A. B. C. D.
8.如图， ，点 分别在线段 上， 与 交于点 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 25
10.如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”）．
12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠ACD＝55°，则∠BAD的度数为 ．
13.如果不等式ax+b＞0的解集是x＞2，则不等式bx-a＜0的解集是
14.如图， 为坐标原点，点 在坐标轴上，四边形 是矩形，且点 在函数 的图象上，边 与函数 的图象分别交于点 ．
(1) 与 的面积之和为 ；
(2) 若 为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
15.计算：
四、解答题：本题共8小题，共93分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件．
(1) 求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式；
(2) 如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？
17.(本小题12分)
如图是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中所标字母的点都是格点．参考示例，借助无刻度直尺在给定的网格中完成（1）（2）作图．
示例：请在图1（a）中画出过点的直线，使． 作法解析：如图1（b），描出格点，连接，直线即为所作直线．
(1) 请在图2中画出射线，使；
(2) 请在图3中画出点关于直线的对称点（不需要写作法，保留作图痕迹）
18.(本小题12分)
在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律：
原数 各位上数字的和差 结论
1210 0是11的整数倍，1210能被11整除
1529 11是11的整数倍，1529能被11整除
3608 11是11的整数倍，3608能被11整除
______ ______ －11是11的倍数，原数能被11整除
(1)
原数 各位上数字的和差 结论
1210 0是11的整数倍，1210能被11整除
1529 11是11的整数倍，1529能被11整除
3608 11是11的整数倍，3608能被11整除
－11是11的倍数，原数能被11整除
根据以上规律，补齐表格中空白部分；
(2) 请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由；
(3) 将千位、百位、十位、个位分别是的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明．
19.(本小题11分)
如图，为测量平台 上一旗杆 的顶端 距离地面 的高度，先用测角仪在地面 处使点 ，点 和测角仪所在点 在一直线上，此时测得 ， ，再将测角仪移到地面 处，测得 ， ，已知图中所有点都在同一竖直平面内， ，四边形 和 均为矩形， ，求 距离地面 的高度 （结果精确到 ）
参考数据： ， ， ； ， ， ．
20.(本小题12分)
如图，是斜边上的一点，与直角边分别相切于点，射线交于点．
(1) 求证：平分；
(2) 若，求半径．
21.(本小题12分)
某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) 本次投票共______人参与，并补全条形统计图．
(2) 由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表：
主题 评分 平均数 中位数 众数
与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10
故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8
求表中的数据： ， ， ．
(3) 结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由．
22.(本小题9分)
ISO A系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的方式衍生出A1、A2、A3等规格．日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种．A系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形 表示某A系列纸张 ．
(1) 求 ；
(2)
已知 ，点 为边 的中点．
（ⅰ）如图2，将 绕点 旋转，使得点 的对应点 在线段 的延长线上，点 的对应点为点 ，求 的面积；
（ⅱ）如图3， 与 关于直线 对称，求证： ．
23.(本小题13分)
如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为．
(1) 求的值；
(2) 点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）．
（ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标；
（ⅱ）求面积的最小值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】假
12.【答案】35°
13.【答案】x>-
14.【答案】【小题1】
【小题2】
或

15.【答案】解：
．

16.【答案】【小题1】
解：根据题意，可得；
【小题2】
解：由题意，知，即，
解得，
为整数，
最多安排名工人去制造甲种零件，
即至少应安排11名工人制造乙种零件．

17.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
解：如图，点即为所求．

18.【答案】【小题1】

1
【小题2】
解：，不是的整数倍，故不能被11整除．
【小题3】
特征：四位数能被11整除，当且仅当是11的整数倍．
，
，
∵a，b，c，d都是整数，
所以一定是11的倍数，
因此当且仅当是11的整数倍时，能被11整除．

19.【答案】解：∵四边形 和 均为矩形，
∴ ， ，
延长 、 ，记它们的交点为点 ，如图所示：
∵ ， ，
∴
即四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，
则
在 中， ，
即 ，
∴ ，
即 ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
则 ，
即 距离地面 的高度 ．

20.【答案】【小题1】
解：连接、，
∵与直角边分别相切于点，
，，
，
，，
，
，
平分；
【小题2】
解：设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
则半径为．

21.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：依题意，（人），
即本次投票共48人参与，
∴（人），
故补全条形统计图：
【小题2】
7.5
8.5
8
【小题3】
解：选择“与科技”，
理由：两个主题的平均分相同，“与科技”的中位数更高，整体评分水平更高，
因此选择“与科技”．

22.【答案】【小题1】
解：设 ，则对折后纸张长宽分别为 ．
∵对折前后的矩形相似，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（负根舍去）
即 ．
【小题2】
解：（ⅰ）过点 作 ，垂足为 ．如图2，
∵由（1）得 ， ，
∴ ，
在矩形 中， ， ，
∴ ．
∴ ， ，
由旋转性质可知 ， ，
在 中， ．
∴.
∴.
∴.
（ⅱ）证明：由轴对称性质得： ， ，
∵ 是 中点，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴顶点，
当时，，
∴，
∴，
∵位似比为，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点式为，
将代入得，
，
解得，
∴，
∴；
【小题2】
解：（ⅰ）如图所示，
由（1）得，，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
∴当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分，
中点坐标为，
设直线的解析式为，将代入得，，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∵点在之间，
∴，此时，
∴；
（ⅱ）设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，解得，
∴直线的解析式为．
过点P作轴，交于点Q，
设，则，
∴，
∵
，
∴当时，有最小值，最小值为．

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