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山东聊城市东阿县实验中学等校2025-2026学年八年级数学下学期第一次学情检测
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若有意义，则m的取值范围为（　　）
A. m≤2 B. m≠2 C. m≥2 D. m＞2
2.下列各式是最简二次根式的是
A. B. C. D.
3.如图，在四边形ABCD中，AD // BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（）
A. AB=CD B. AO=CO C. ∠ADB=∠CBD D. AC=BD
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）
A. 2cm＜OA＜5cm B. 2cm＜OA＜8cm C. 1cm＜OA＜4cm D. 3cm＜OA＜8cm
5.如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：

①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是菱形．
其中，正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）
A. 2 B. C. 4 D. 6
8.如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A. B. 5 C. D.
10.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A. B. 3 C. 3或 D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.最简二次根式能与合并，则 ．
14.等式成立的条件是 ．
15.若的整数部分为 a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
16.若x，y为实数，y=，则4y-3x的平方根是 ．
17.如图，已知菱形，连接，若，，，点F在上，点E在上，连接、，则的最小值是 ．
18.如图，在正方形中，点 O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④其中正确的是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共16分。
19.计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
四、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题16分)
如图，在□ABCD中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为点，，平分．
(1) 若，求的大小；
(2) 求证：．
21.(本小题18分)
阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：．
解答下列问题：
(1) 与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
(2) ①比较大小：_____（填入，，或中的一种）；
②计算下列式子的值：；
(3) 已知正整数a，b满足，求a，b的值．
22.(本小题16分)
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1) 如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2) 如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】D
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】±
17.【答案】3
18.【答案】①②③④
19.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．
【小题3】
解：
．
【小题4】
解：
．

20.【答案】【小题1】
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵ 四边形为平行四边形，
∴．
∴．
【小题2】
∵ 四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴≌．
∴．

21.【答案】【小题1】


【小题2】
解：①
，，
，，
，
，
，
故答案为：；
②∵
，
．
【小题3】
解：
，
，
，
，
，，
．

22.【答案】【小题1】
PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
【小题2】
PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．

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