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浙教版数学七年级下册 5.5 分式方程 三阶训练
一、选择题
1．（2026八上·越秀期末）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为，并联电路的总电阻为，三者之间的关系为，则用表示，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2025九下·山亭开学考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·长沙期末）若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（　　）
A．1 B． C．0 D．4
4．（2025八上·泊头月考）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22
5．（2025八上·河西期末）某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·西安期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
7．（2025九上·萧山月考）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值
分式的值 无意义
A． B． C． D．
8．（2025八上·义乌开学考）分式的值是（　　）
A．不能为 B．不能为0 C．不能为1 D．不能为2
9．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
10．某工程队承接了 60 万平方米的绿化工程， 由于情况有变， 设原计划每天绿化的面积为 万平方米， 列方程为 ， 根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果提前 30 天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果延误 30 天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 ，结果延误 30 天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 ，结果提前 30 天完成了这一任务
二、填空题
11．（2025八上·宣化期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是　 　．
12．（2025七上·长沙开学考）解方程：，　 　．
13．（2024八下·江都期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为　 　.
14．（2024九上·柯桥期末）若正数a，b，c满足abc=1，，则　 　．
15．（2023九上·苍南模拟）若实数a.b满足+=1，+=1，则a+b=　 　.
三、解答题
16．（2024八上·房山期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
（1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
（2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
（3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
17．（2025七下·越秀期末） 一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数．
（1）求a，b，c满足的等量关系；
（2）若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值；
（3）若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的加法运算，对通分计算，根据倒数的定义即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案五位：A．
【分析】设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为(x+1)天，快马送达所需时间为(x-2)天，利用速度等于路程除以时间表示出慢马于快马的速度，最后根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程.
3．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得，
由分式方程无解，得到，
即，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当，整式方程无解，
解得，
故m的值为1或4或．
故答案为：C．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
4．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；判断是否为分式方程的解
【解析】【解答】解：根据图可知：，即解得：，
经检验，是原分式方程的解，故A、C错误，B正确.
同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，
则，解得：，
经检验，是原分式方程的解，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据图列方程，解得：，故A、C错误，B正确，设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，则，解得：，可判断D错误.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天，
依题意得：．
故选：A．
【分析】根据工作效率=工作总量工作时间，分别求得原计划的工作效率为，实际工作效率为，依据“采用新技术后每天增加生产10件”即可求得.
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
去分母，得：1-m-2(x-1)=-2，
去括号，得：1-m-2x+2=-2，
移项，得：-2x=-2-2-1+m，
合并同类项，得：-2x=m-5，
系数化为1，得：x=，
∵ 分式方程的解是非负数
∴，
解得：且．
故答案为：C．
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解是非负数和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
7．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值；解分式方程
【解析】【解答】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故选：C．
【分析】
根据分式无意义的条件（分母为0）、分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）、值为1的条件，结合表格中x与分式值的对应关系，依次求解m、n、a、b的值，再对比选项判断错误结论。
8．【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】A．若，去分母得：，解得：
经检验是分式方程的解，
∴此选项不符合题意；
B. 若，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，
∴此选项不符合题意；
C. 若，去分母得：，此方程无解，分式不能为1，
∴此选项符合题意；
D. 若，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由题意，令分式的值分别等于各选项的值：-1、0、1、2，可得关于x的分式方程，解分式方程，根据分式方程无解的条件“最简公分母为零”即可判断求解.
9．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： 设原计划每天绿化的面积为 x万平方米，
则表示计划完成的天数，
（1-20%）x表示实际工作效率比计划降低20%，表示实际完成的天数，
，说明实际比计划多用30天，即延误30天完成，
故答案为：C.
【分析】本题是对列方程的反向应用，已知方程，求对应的条件，关键是对方程每一项的理解，根据代数式及等量关系得出其实际含义.
11．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，
根据题意，得，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为： ．
【分析】
设小敏通过AB路段的速度为x米/秒，则通过BC路段的速度为1.2x米/秒，根据速度与时间的关系（时间=路程÷速度）分别表示出通过AB和BC路段的时间，再结合总时间为22秒这一条件建立方程求解。
12．【答案】1
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式的加法和除法，解分式方程，从最内层分式开始，逐步化简整个分式，将其转化为简单的分式方程，再利用比例的基本性质（内项之积等于外项积）转化为整式方程求解.
13．【答案】4047
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
，，，，，为正整数），
所以，，，，．
因为，
所以，
，
，
解得或4047，
因为为正整数，
所以．
故答案为：4047．
【分析】观察各幅图中小平行四边形的个数就会得出第n幅图中小平行四边形的个数为：an=1+2+3+4+……+n=，则，据此可将题干已知方程左边拆分为，中间相抵消可得，从而将原方程变形为，求解并结合n为正整数即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【解答】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【分析】展开计算得到 ，整体代入即可解题；或由已知条件得到方程组，求出，，代入解题即可．
15．【答案】286
【知识点】二元一次方程组的解；解分式方程
【解析】【解答】解：由 a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.
由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.
②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，
所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，
得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
故答案为：286.
【分析】本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
16．【答案】（1）①③
（2）解：∵数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，
∴，解得：，
∴ a的值为2.
（3）或
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；实数的混合运算（含开方）；判断是否为分式方程的解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解析】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”故①正确.
当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误.
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确.
故答案为：①③．
（3）解：∵数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，解得
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
【分析】（1）根据定义，计算当，时，使得关于的分式方程的解是成立，当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，当，时，使得关于的分式方程的解是成立，据此判断即可．
（2）根据数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”得，
，可得，解出即可.
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为：①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，
整理，得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
17．【答案】（1）解：∵ 甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成
∴甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，丙队的工作效率为；
∴
∴
即a，b，c满足的等量关系为：.
（2）解：由题意得：
由（1）得：
∴
将②代入①得：
c=3
答：c的值为3.
（3）解：∵a＜b＜c， a，b，c均为正整数
由（1）得：
∴a＜6
∵甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成
∴a＞2
∴当a=3时，
∴乙、丙两队同时施工需要6天可以完成该项工程；
当a=4时，
∴乙、丙两队同时施工需要4天可以完成该项工程；
当a=5时，
∵a＜b
∴b是大于5的正数，若b=6，代入上式可得：c=7.5不是整数，与题意矛盾
∴这种情况不存在；
综上所述： 乙、丙两队同时施工需要4天或6天可以完成该项工程.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)把这项工程的工作量看作单位 “1”，根据工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间，甲队单独施工需要a天完成，则甲队的工作效率为；乙队单独施工需要b天完成，乙队的工作效率为；丙队单独施工需要c天完成，丙队的工作效率为；甲、乙、丙三队同时施工，2 天完成，三队合作的工作效率是，根据三队合作的工作效率等于甲、乙、丙三队工作效率之和可得：，由此可得出答案；
(2)同样把工作量看作单位“1”，甲、乙两队同时施工 4 天，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为 ，那么甲、乙两队 4 天完成的工作量是，丙队单独施工1天，完成工作量，甲、乙完成的工作量加上丙完成的工作量等于总工作量 1，即，结合(1)中的化简可得：，等量代换可解得：c=3，由此可得出答案；
(3)根据不等式的性质可得：，即，由(1)得：代入可得：a＜6，再结合题意可知：a＞2，由此可得：2＜a＜6，然后结合a是正整数，对a的值分类讨论，即可得出答案.
1 / 1浙教版数学七年级下册 5.5 分式方程 三阶训练
一、选择题
1．（2026八上·越秀期末）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为，并联电路的总电阻为，三者之间的关系为，则用表示，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式的加法运算，对通分计算，根据倒数的定义即可得答案.
2．（2025九下·山亭开学考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案五位：A．
【分析】设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为(x+1)天，快马送达所需时间为(x-2)天，利用速度等于路程除以时间表示出慢马于快马的速度，最后根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程.
3．（2024八上·长沙期末）若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（　　）
A．1 B． C．0 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得，
由分式方程无解，得到，
即，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当，整式方程无解，
解得，
故m的值为1或4或．
故答案为：C．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
4．（2025八上·泊头月考）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；判断是否为分式方程的解
【解析】【解答】解：根据图可知：，即解得：，
经检验，是原分式方程的解，故A、C错误，B正确.
同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，
则，解得：，
经检验，是原分式方程的解，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据图列方程，解得：，故A、C错误，B正确，设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，则，解得：，可判断D错误.
5．（2025八上·河西期末）某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产10件，因此提前6天完成计划，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设该工厂计划天内生产120件零件，则实际生产了天，
依题意得：．
故选：A．
【分析】根据工作效率=工作总量工作时间，分别求得原计划的工作效率为，实际工作效率为，依据“采用新技术后每天增加生产10件”即可求得.
6．（2023八下·西安期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
去分母，得：1-m-2(x-1)=-2，
去括号，得：1-m-2x+2=-2，
移项，得：-2x=-2-2-1+m，
合并同类项，得：-2x=m-5，
系数化为1，得：x=，
∵ 分式方程的解是非负数
∴，
解得：且．
故答案为：C．
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解是非负数和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
7．（2025九上·萧山月考）已知分式 （，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值
分式的值 无意义
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值；解分式方程
【解析】【解答】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故选：C．
【分析】
根据分式无意义的条件（分母为0）、分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）、值为1的条件，结合表格中x与分式值的对应关系，依次求解m、n、a、b的值，再对比选项判断错误结论。
8．（2025八上·义乌开学考）分式的值是（　　）
A．不能为 B．不能为0 C．不能为1 D．不能为2
【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】A．若，去分母得：，解得：
经检验是分式方程的解，
∴此选项不符合题意；
B. 若，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，
∴此选项不符合题意；
C. 若，去分母得：，此方程无解，分式不能为1，
∴此选项符合题意；
D. 若，去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由题意，令分式的值分别等于各选项的值：-1、0、1、2，可得关于x的分式方程，解分式方程，根据分式方程无解的条件“最简公分母为零”即可判断求解.
9．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
10．某工程队承接了 60 万平方米的绿化工程， 由于情况有变， 设原计划每天绿化的面积为 万平方米， 列方程为 ， 根据方程可知省略的部分是（　　）
A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果提前 30 天完成了这一任务
B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果延误 30 天完成了这一任务
C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 ，结果延误 30 天完成了这一任务
D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了 ，结果提前 30 天完成了这一任务
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： 设原计划每天绿化的面积为 x万平方米，
则表示计划完成的天数，
（1-20%）x表示实际工作效率比计划降低20%，表示实际完成的天数，
，说明实际比计划多用30天，即延误30天完成，
故答案为：C.
【分析】本题是对列方程的反向应用，已知方程，求对应的条件，关键是对方程每一项的理解，根据代数式及等量关系得出其实际含义.
二、填空题
11．（2025八上·宣化期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，
根据题意，得，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为： ．
【分析】
设小敏通过AB路段的速度为x米/秒，则通过BC路段的速度为1.2x米/秒，根据速度与时间的关系（时间=路程÷速度）分别表示出通过AB和BC路段的时间，再结合总时间为22秒这一条件建立方程求解。
12．（2025七上·长沙开学考）解方程：，　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为，
故答案为：．
【分析】
本题考查了分式的加法和除法，解分式方程，从最内层分式开始，逐步化简整个分式，将其转化为简单的分式方程，再利用比例的基本性质（内项之积等于外项积）转化为整式方程求解.
13．（2024八下·江都期中）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为　 　.
【答案】4047
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
，，，，，为正整数），
所以，，，，．
因为，
所以，
，
，
解得或4047，
因为为正整数，
所以．
故答案为：4047．
【分析】观察各幅图中小平行四边形的个数就会得出第n幅图中小平行四边形的个数为：an=1+2+3+4+……+n=，则，据此可将题干已知方程左边拆分为，中间相抵消可得，从而将原方程变形为，求解并结合n为正整数即可得出答案.
14．（2024九上·柯桥期末）若正数a，b，c满足abc=1，，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【解答】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【分析】展开计算得到 ，整体代入即可解题；或由已知条件得到方程组，求出，，代入解题即可．
15．（2023九上·苍南模拟）若实数a.b满足+=1，+=1，则a+b=　 　.
【答案】286
【知识点】二元一次方程组的解；解分式方程
【解析】【解答】解：由 a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.
由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.
②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，
所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，
得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
故答案为：286.
【分析】本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
三、解答题
16．（2024八上·房山期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
（1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
（2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
（3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
【答案】（1）①③
（2）解：∵数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，
∴，解得：，
∴ a的值为2.
（3）或
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；实数的混合运算（含开方）；判断是否为分式方程的解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解析】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”故①正确.
当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误.
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确.
故答案为：①③．
（3）解：∵数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，解得
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
【分析】（1）根据定义，计算当，时，使得关于的分式方程的解是成立，当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，当，时，使得关于的分式方程的解是成立，据此判断即可．
（2）根据数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”得，
，可得，解出即可.
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为：①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，
整理，得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
17．（2025七下·越秀期末） 一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数．
（1）求a，b，c满足的等量关系；
（2）若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值；
（3）若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程．
【答案】（1）解：∵ 甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成
∴甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，丙队的工作效率为；
∴
∴
即a，b，c满足的等量关系为：.
（2）解：由题意得：
由（1）得：
∴
将②代入①得：
c=3
答：c的值为3.
（3）解：∵a＜b＜c， a，b，c均为正整数
由（1）得：
∴a＜6
∵甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成
∴a＞2
∴当a=3时，
∴乙、丙两队同时施工需要6天可以完成该项工程；
当a=4时，
∴乙、丙两队同时施工需要4天可以完成该项工程；
当a=5时，
∵a＜b
∴b是大于5的正数，若b=6，代入上式可得：c=7.5不是整数，与题意矛盾
∴这种情况不存在；
综上所述： 乙、丙两队同时施工需要4天或6天可以完成该项工程.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)把这项工程的工作量看作单位 “1”，根据工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间，甲队单独施工需要a天完成，则甲队的工作效率为；乙队单独施工需要b天完成，乙队的工作效率为；丙队单独施工需要c天完成，丙队的工作效率为；甲、乙、丙三队同时施工，2 天完成，三队合作的工作效率是，根据三队合作的工作效率等于甲、乙、丙三队工作效率之和可得：，由此可得出答案；
(2)同样把工作量看作单位“1”，甲、乙两队同时施工 4 天，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为 ，那么甲、乙两队 4 天完成的工作量是，丙队单独施工1天，完成工作量，甲、乙完成的工作量加上丙完成的工作量等于总工作量 1，即，结合(1)中的化简可得：，等量代换可解得：c=3，由此可得出答案；
(3)根据不等式的性质可得：，即，由(1)得：代入可得：a＜6，再结合题意可知：a＞2，由此可得：2＜a＜6，然后结合a是正整数，对a的值分类讨论，即可得出答案.
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