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2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共18小题，共90分。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D.
6.已知，则可以是（ ）
A. 0 B. C. D.
7.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
8.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
9.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度
C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度
10.若实数满足，则的最大值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
11.如图，在平行四边形中，，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
12.某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
13.如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
14.已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
15.已知函数，则“”是“存在零点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16.已知为等边三角形的中心，则（ ）
A. B. C. D.
17.函数在人工智能领域有广泛应用．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 是偶函数
C. 当时， D. 当时，
18.七巧板是我国的一种传统益智玩具，由七块板组成，用它们可以拼出丰富的图案.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形由七巧板拼成（①②③⑤⑦均为等腰直角三角形，④为正方形，⑥为平行四边形）.若对数函数的图象经过这七个点中的两个点，则（ ）
A. 2 B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
19.已知复数，则 .
20.两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下：
A组 5 6 7 8
B组 6 8 9
①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则 ；（填“”“”或“”）
②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则 .（填“”“”或“<”）
21.已知函数.给出下列三个结论：
①；
②；
③.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题10分)
已知函数.
(1)写出的最小正周期；
(2)求在区间上的最小值.
23.(本小题10分)
阅读下面题目及其解答过程.
已知函数
（1）判断是否为奇函数，并说明理由；
（2）求的最小值.
解：（1）因为，所以__________①，所以______②奇函数.
（2）当时，，所以在区间__________③.
所以__________④；当时，，所以__________⑤，所以的最小值为__________⑥.
以上题目的解答过程中，设置了①~⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理!请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置.（只需填写“A”或“B”）
空格序号 选项
① （ A） （ B）
② （ A）是 （ B）不是
③ （ A）单调递增 （ B）单调递减
④ （ A） （ B）
⑤ （ A） （ B）
⑥ （ A） （ B）
24.(本小题10分)
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形.
(1)求证：平面；
(2)在直线上是否存在点，使得？说明理由.
25.(本小题15分)
已知集合中恰有个元素是奇数.若是偶数，则称为“分偶集合”.
(1)判断和是否为“分偶集合”；（结论无需证明）
(2)若对任意的均为“分偶集合”，写出的三个取值；
(3)设.若中任意两个元素之和均不等于1，且是偶数，判断是否可能为“分偶集合”，并说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】A
14.【答案】D
15.【答案】A
16.【答案】C
17.【答案】D
18.【答案】B
19.【答案】
20.【答案】 ； ； ； ； ； ；
21.【答案】①②③
22.【答案】解：（1）的最小正周期；
（2）由，可得.
则当或，
即或时，取得最小值．

23.【答案】解： 因为，所以不满足奇函数的要求，即：，即：，所以不是奇函数；
因为是分段函数，所以需要分段分析图象的特点，
当时，，在区间上为对称轴是的抛物线，且开口朝上，
所以在区间上单调递减，所以在该区间上；
当时，，在区间上为底数是2的指数函数，
所以在区间上单调递增，，所以；
综上所述，的最小值为.

24.【答案】解：（1）因为底面为正方形，所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）在直线上存在点，使得，证明如下：
因为底面为正方形，所以，
因为平面，所以，
又平面，平面，，所以平面.
因为平面，所以.
所以当点与点重合时，.

25.【答案】解：（1）不是“分偶集合”，是“分偶集合”.
理由如下：中有3个元素是奇数，不是偶数，故不是“分偶集合”；
中有4个元素是奇数，2为偶数，故是“分偶集合”.
（2）对任意的均为“分偶集合”，
其中为奇数，故一个为偶数，一个为奇数，
故对任意的，一奇一偶，故为奇数，
取的三个取值为即可.（答案不唯一）；
（3）不可能为“分偶集合”.理由如下：
假设是“分偶集合”，则是偶数.设，，故.
当时，，此时中有0个奇数，30个偶数，
而中有个偶数，但此时不是偶数，不合题意，
当时，设是奇数，是偶数.
，
故为奇数，且由中任意两个元素之和均不等于1，
则为奇数.
且
，
所以
因为是偶数，所以能被4整除.
又因为和均能被4整除，30不能被4整除，矛盾.
综上，假设不成立.
所以不可能为“分偶集合”.

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