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江苏南京市第六十六中学等校2026届高三下学期四月第一次检测（二模）数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数z满足，其中为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知四边形ABCD为正方形，P为线段AC上一点（不包括端点A，C），则=（　　）
A. ，λ∈（0，1） B. ，
C. ，λ∈（0，1） D. ，
4.新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12 kW·h/100km的汽车大约有（ ）
A. 700辆 B. 350辆 C. 300辆 D. 150辆
5.双曲线C：的一个焦点坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线y=-2x+4与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），则p=（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定
7.设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 的值为0.015
B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75
C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105
D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85
10.设函数f(x)＝(x-1)(x-a)(x-b)，其中a＜1＜b．则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)可能为奇函数
B. f(x)既有极大值也有极小值
C. 若f(x)f(2-x)≤0恒成立，则a+b＝2
D. 若x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根，且f(x1)+f(x2)＜0，则a+b＞2
11.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，且为中点，则
C. 不存在与，使得
D. 当时，则最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 .
13.对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则 （结果用含i的式子表示）； （结果用含j的式子表示）．
14.已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设．
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)证明：．
16.(本小题15分)
悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．
(1)求的值：
(2)证明：
（i）；
（ii）；
（iii）．
(3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）．
17.(本小题15分)
已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点．
（1）若，，求二面角的余弦值；
（2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜．
(1)当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由；
(2)当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由．
19.(本小题17分)
拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数
(1)求函数在上的值域；
(2)已知，求证：
（i）；
（ ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】6
13.【答案】 ；
14.【答案】41
15.【答案】解：（1）设，
则，
，
，则，而，
所以；
（2）已知，
则，
所以，
，
因为，所以，即，解得；
（3）由棣莫弗定理公式，
得，
；
，
；
，
，
则，，
所以.

16.【答案】解：（1），
.
（2）（i）因为左边，
右边
所以，命题得证.
（ii）因为
所以，命题成立；
（iii）
命题得证.
（3）因为，故，
故，
而，
，
故.

17.【答案】解：因为MN是异面直线l,m的公垂线段,且lm,
以N为原点,分别以直线NM,m为x轴,y轴, 过N作平行于l的直线为z轴建立空间直角坐标系,
已知|MN|=1,M|=2,则M(1,0,0),不妨令(1,0,2),
平面m-M即xOy平面,其法向量=(0,0,1)，
设平面m(即平面,在y轴上)的法向量为=(x,y,z),
=(1,0,2),=(0,a,0)(a0),
由,
令z=-1,则x=2,y=0,所以=(2,0,-1).
设二面角-m-M为,
则=|cos<,>|=||==.

(2)如图所示，
因为，所以，
若，则；
若，则；
设=,=,所以=1,
若，
则,
则，
所以++(+)=0,与,同号矛盾,所以不存在.
18.【答案】解：（1），时甲有获胜策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲先选0（选1亦可），乙第一步选择无实际意义，，
甲再选1，若乙将其与0填在同一个绝对值中，甲再选0、1，可使，
若乙将其填在另一个绝对值中，甲再选，则某个绝对值得到，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时，
乙有策略使得，
若甲的前两个数相差不超过，乙将其填在同一个绝对值中，这样一个绝对值不超过，另一个绝对值不超过1，从而，
若甲的前两个数相差超过，乙将其填在不同绝对值中，设且，，从而，
甲的第三个数必定满足且，或且，从而乙可以使得一个绝对值不超过，另一个绝对值总不超过1，故乙可以使得，
综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数；
（2），时甲有获胜策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲依次选0、1，若乙填在同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，
若乙填在不同绝对值中，甲再选，乙若填在和0或1同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，若乙填在第三个绝对值中，则，
甲选，若乙放在第一个绝对值中，甲选0、0，则，
若乙放在第二个绝对值中，甲选1、1，则，
若乙放在第三个绝对值中，由的讨论知甲可以使得前两个绝对值之和不小于，故，
乙有策略使得，
若甲的前两个数差不超过，则将数填在同一个绝对值中，甲选了第三个数，
若三个数中有两个数的差不超过，乙将这两个数放在同一个绝对值中，再由的讨论知乙可以使得，
若甲的前三个数两两相差均大于，则乙将三个数填在不同绝对值中，
现假设，，，，
由对称性，不妨设，甲的第四个数为，
情形一：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，，
而前两个绝对值不超过，为；
情形二：若，乙将与放在同一个绝对值中，则，
剩下，由的讨论知乙可以使得剩下两个绝对值之和不超过，从而；
情形三：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，，
剩下，同情形二可知乙可以使得；
最后注意到，上述三种情形包括了的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形），
综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数.

19.【答案】解：（1）由，可得，令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以，又，
所以函数在上的值域为；
（2）（i）由，结合拉格朗日（ Lagrange）中值定理可得，
要证，需证，又在上单调递增，
故只需证，又，
所以只需证，即证，
即证，
令，则，
不等式等价于，
，
只需证，
即证，
令，
求导得
令，
求导得
，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
所以成立，
故.
（ii）不等式恒成立，
等价于，又，
所以等价于，
令，则等价于，
即，
即等价于，
所以等价于，
令，求导得
，
又因为，所以，所以，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以整数的最小值为1.

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