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北师大版数学八年级下册 5.1分式及其基本性质 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·环江期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·贵州期末）下列各式从左到右的变形中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·遵义期末）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·南山期中）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍
C．缩小为原来的 D．不变
5．（2024八上·长沙期末）把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
6．（2025八上·海淀期末）下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·贵州模拟）分式化成最简分式为　 　．
8．（2024九上·南山期末）已知 = ，求 = 　 　。
9．（2025八上·通州月考）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值　 　（填“扩大”“缩小”或“不变”）
二、能力提升
10．（2022八下·射洪月考）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025九上·浙江期中）已知 则 的值是(　　)
A． B． C． D．
12．下列等式一定成立的是（　　）
A． B．= C． D．
13．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是 则 的值为　 　.
14．（2024八下·柴桑月考）若，且，则分式　 　．
15．（2025·雅安）化简：＝　 　 ．
16．已知4x-5y=0，求分式的值。
17．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1）
（2）
三、拓展创新
18．（2024八下·普宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”下列分式中，是“和谐分式”的是(　　)
A． B．
C． D．
19．（2026八上·岷县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.”
【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如 这样的分式就是假分式； 这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式).
如：
解决下列问题：
（1）【理解知识】分式 是　 　分式（填“真”或“假”)；
（2）【掌握知识】将假分式 化为带分式；
（3）【运用知识】求所有符合条件的整数x 的值，使得分式 的值为整数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故答案为：C．
【分析】本题结合分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。选项中只有C选项满足分式的基本性质，其余四个选项均不满足。
2．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、，故A正确，不符合题意；
B、，故B正确，不符合题意；
C、，故C正确，不符合题意；
D、和都为最简分式，不能化简，故，故D错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵ A中分子分母有公因数4，可约分为，不是最简分式；
∵ B中分母，与分子有公因式，可约分，不是最简分式；
∵ C中分子m与分母无公因式，且分母不能分解因式，故为最简分式；
∵ D中分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式．
∴ 最简分式是C．
故选：C．
【分析】根据最简分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到：
，
可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
5．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，，
∴分式的值不变，
故选：B．
【分析】将分式中的x，y都变为，可得，利用分式的性质，化简求解即可．
6．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 要变形为 ，需满足 ，解得 ，
∵ 该变形仅在 时成立，并非对所有x都恒成立，
∴ 选项A变形错误；
B、分子 与分母 同时除以 （，即 ），
∵，
∴ 选项B变形正确；
C、，
∵，
∴ 选项C变形错误；
D、，
∵（除非 或 、，但 时分式无意义），
∴ 选项D变形错误。
故答案为：B
【分析】本题考查分式的基本性质及分式的加减运算，解题需依据分式的基本性质判断变形是否恒成立，对于涉及分式加减的选项，需先通分再对比。首先明确分式变形的核心是“恒成立”，不能依赖特定的x值，对于选项A，通过等式变形求出仅当x=0时成立，故排除；选项B利用分式基本性质，分子分母同除以 （不为零），变形后结果正确；选项C将右边通分后与左边对比，发现分子不同，变形错误；选项D利用分式乘方的逆运算，得出 是 ，与 不相等，从而确定正确选项。
7．【答案】
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可得出答案.
8．【答案】
【知识点】分式的约分；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将先进行约分化简，再把 = 代入计算即可.
9．【答案】不变
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】 分式中的x，y都扩大10倍为=
故答案为：不变.
【分析】根据分式的性质：分子与分母同乘10，分式值不变
10．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质：分母、分子同时除以一个不为0的数，分式的值不变进行判断.
11．【答案】A
【知识点】分式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A .
【分析】先把要求的 化成，再进行计算即可得出答案．
12．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：根据分式的基本性质，不一定成立，所以A不符合题意；
B：根据分式的基本性质，=不一定成立，所以B不符合题意；
C：，c≠0时才成立，所以C不一定成立；
D：成立，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，逐项进行判断即可得出答案。
13．【答案】1
【知识点】分式的约分；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据条件可知，，
变形化简得到a=2b，
∴，
故答案为：1.
【分析】本题结合条件可知，盒中总共有a+b枚棋子，取出黑棋的概率为，此时即可列出分式方程，化简后得到a和b的关系，最后代入计算即可.
14．【答案】2024
【知识点】分式的概念；分式的基本性质；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：2024．
【分析】等式两边同时除以ab，得到，然后根据等式的变形解答即可．
15．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先分别对分子（平方差公式），分母（完全平方公式）进行因式分解；再消去分子分母的公共因式(x-3)，即可得到最简分式.
16．【答案】解：因为所以所以.
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】根据题意，利用代入法将已知条件代入分式进行化简，即用替换x，通过约分得到最简结果.
17．【答案】（1）解：.
（2）解：.
【知识点】分式基本性质的应用-系数化整
【解析】【分析】（1）和的最小公倍数是6，于是根据分式的基本性质，原分式的分子分母同时乘以6，不改变分式的值，且能使分子分母中各项的系数都化为整数；
（2）原分式中非整数的系数均为1为小数，于是根据分式的基本性质，原分式的分子分母同时乘以10，不改变分式的值，且能使分子分母中各项的系数都化为整数.
18．【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、=x+y，故不符合题意；
B、 的分子或分母不可以因式分解，故不符合题意；
C、， 分子或分母可以因式分解，且不可约分 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据“和谐分式”的定义，对各个选项进行变形，再判断即可.
19．【答案】（1）真
（2）解：
（3）解：
与x均为整数，
∴x-1=±2或±1，
∴x=-1或3或0或2
【知识点】分式的基本性质；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：（1）∵2025的次数为0，x的次数为1
∴是真分式
故答案为：真
【分析】（1）根据真假分式的定义，结合单项式相关量的定义即可求出答案.
（2）根据带分式的定义，结合分式的性质化简即可求出答案.
（3）根据分式的性质化简，结合分式的性质即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册 5.1分式及其基本性质 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·环江期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故答案为：C．
【分析】本题结合分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。选项中只有C选项满足分式的基本性质，其余四个选项均不满足。
2．（2026八上·贵州期末）下列各式从左到右的变形中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、，故A正确，不符合题意；
B、，故B正确，不符合题意；
C、，故C正确，不符合题意；
D、和都为最简分式，不能化简，故，故D错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）分析求解即可.
3．（2026八上·遵义期末）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵ A中分子分母有公因数4，可约分为，不是最简分式；
∵ B中分母，与分子有公因式，可约分，不是最简分式；
∵ C中分子m与分母无公因式，且分母不能分解因式，故为最简分式；
∵ D中分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式．
∴ 最简分式是C．
故选：C．
【分析】根据最简分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·南山期中）把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到：
，
可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
5．（2024八上·长沙期末）把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．不变
C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，，
∴分式的值不变，
故选：B．
【分析】将分式中的x，y都变为，可得，利用分式的性质，化简求解即可．
6．（2025八上·海淀期末）下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 要变形为 ，需满足 ，解得 ，
∵ 该变形仅在 时成立，并非对所有x都恒成立，
∴ 选项A变形错误；
B、分子 与分母 同时除以 （，即 ），
∵，
∴ 选项B变形正确；
C、，
∵，
∴ 选项C变形错误；
D、，
∵（除非 或 、，但 时分式无意义），
∴ 选项D变形错误。
故答案为：B
【分析】本题考查分式的基本性质及分式的加减运算，解题需依据分式的基本性质判断变形是否恒成立，对于涉及分式加减的选项，需先通分再对比。首先明确分式变形的核心是“恒成立”，不能依赖特定的x值，对于选项A，通过等式变形求出仅当x=0时成立，故排除；选项B利用分式基本性质，分子分母同除以 （不为零），变形后结果正确；选项C将右边通分后与左边对比，发现分子不同，变形错误；选项D利用分式乘方的逆运算，得出 是 ，与 不相等，从而确定正确选项。
7．（2024·贵州模拟）分式化成最简分式为　 　．
【答案】
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可得出答案.
8．（2024九上·南山期末）已知 = ，求 = 　 　。
【答案】
【知识点】分式的约分；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将先进行约分化简，再把 = 代入计算即可.
9．（2025八上·通州月考）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值　 　（填“扩大”“缩小”或“不变”）
【答案】不变
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】 分式中的x，y都扩大10倍为=
故答案为：不变.
【分析】根据分式的性质：分子与分母同乘10，分式值不变
二、能力提升
10．（2022八下·射洪月考）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的基本性质：分母、分子同时除以一个不为0的数，分式的值不变进行判断.
11．（2025九上·浙江期中）已知 则 的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A .
【分析】先把要求的 化成，再进行计算即可得出答案．
12．下列等式一定成立的是（　　）
A． B．= C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：根据分式的基本性质，不一定成立，所以A不符合题意；
B：根据分式的基本性质，=不一定成立，所以B不符合题意；
C：，c≠0时才成立，所以C不一定成立；
D：成立，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，逐项进行判断即可得出答案。
13．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是 则 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】分式的约分；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据条件可知，，
变形化简得到a=2b，
∴，
故答案为：1.
【分析】本题结合条件可知，盒中总共有a+b枚棋子，取出黑棋的概率为，此时即可列出分式方程，化简后得到a和b的关系，最后代入计算即可.
14．（2024八下·柴桑月考）若，且，则分式　 　．
【答案】2024
【知识点】分式的概念；分式的基本性质；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
故答案为：2024．
【分析】等式两边同时除以ab，得到，然后根据等式的变形解答即可．
15．（2025·雅安）化简：＝　 　 ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先分别对分子（平方差公式），分母（完全平方公式）进行因式分解；再消去分子分母的公共因式(x-3)，即可得到最简分式.
16．已知4x-5y=0，求分式的值。
【答案】解：因为所以所以.
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】根据题意，利用代入法将已知条件代入分式进行化简，即用替换x，通过约分得到最简结果.
17．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1）
（2）
【答案】（1）解：.
（2）解：.
【知识点】分式基本性质的应用-系数化整
【解析】【分析】（1）和的最小公倍数是6，于是根据分式的基本性质，原分式的分子分母同时乘以6，不改变分式的值，且能使分子分母中各项的系数都化为整数；
（2）原分式中非整数的系数均为1为小数，于是根据分式的基本性质，原分式的分子分母同时乘以10，不改变分式的值，且能使分子分母中各项的系数都化为整数.
三、拓展创新
18．（2024八下·普宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”下列分式中，是“和谐分式”的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、=x+y，故不符合题意；
B、 的分子或分母不可以因式分解，故不符合题意；
C、， 分子或分母可以因式分解，且不可约分 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据“和谐分式”的定义，对各个选项进行变形，再判断即可.
19．（2026八上·岷县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.”
【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如 这样的分式就是假分式； 这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式).
如：
解决下列问题：
（1）【理解知识】分式 是　 　分式（填“真”或“假”)；
（2）【掌握知识】将假分式 化为带分式；
（3）【运用知识】求所有符合条件的整数x 的值，使得分式 的值为整数.
【答案】（1）真
（2）解：
（3）解：
与x均为整数，
∴x-1=±2或±1，
∴x=-1或3或0或2
【知识点】分式的基本性质；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：（1）∵2025的次数为0，x的次数为1
∴是真分式
故答案为：真
【分析】（1）根据真假分式的定义，结合单项式相关量的定义即可求出答案.
（2）根据带分式的定义，结合分式的性质化简即可求出答案.
（3）根据分式的性质化简，结合分式的性质即可求出答案.
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