资源简介

北师大版数学八年级下册 5.2分式运算 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·坪山期末） 分式与的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·天桥月考）下列等式成立的是（ ）
A．+= B．= C．= D．=-1
3．（2025八下·宜宾开学考）下列分式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·浑南期中）下列各式化简后，结果为1的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·宝安期末）如果，那么 的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6．（2024八下·深圳期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·通川月考）若，则的值是　 　．
8．（2024八下·吉州月考）若，则的值为　 　．
9．（2024八下·宝安期中）如果，那么代数式的值是　 　．
二、能力提升
10．（2025八下·岳阳开学考）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
13．（2026八下·嘉兴月考）若 则 的值为　 　.
14．（2024八下·武侯期中）已知实数x，y满足，则　 　．
15．（2025八下·成华期末）已知，则代数式的值是　 　.
16．（2025八下·深圳期末）下面是小化简分式的过程：
解：原式=.第一步 =第二步 =.第三步
（1）小华的化简过程从第　 　步开始山现错误；
（2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.
17．（2020八下·长沙期末）先化简，再求值： ，其中 ．
三、拓展创新
18．（2025·浙江竞赛）如图1，有一个高为hcm的瓶子，瓶中水面的高度为acm，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a=9，b=15，h=21时，求出这个比值。
19．（2024八下·临湘月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号）
①； ②； ③； ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式与的最简公分母是
故答案为： A
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故此选项错误，不符合题意；
B．，故此选项错误，不符合题意；
C．，故此选项正确，符合题意；
D．，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解∶A．，则原计算错误，不符合题意；
B．，则原计算错误，不符合题意；
C．，则原计算错误，不符合题意；
D．，则原计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的混合运算，将各式计算得到结果，即可作出判断．
4．【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、．故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查分式的运算，根据分式的加减乘除运算法则，逐项进行计算判断即可求解.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：D．
【分析】根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
6．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】
本题考查了分式的化简求值，先根据可得出：，再根据分式的同分母分式加减运算法则：分母不变，分子相加减，化简，再将代入计算化简即可得出答案．
7．【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2xy=y-x，
∴，
∴
=
=
=；
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再整体代入分式计算求解即可.
8．【答案】0.5
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：0.5.
【分析】先将化简成，再把代入即可求解.
9．【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：（a-） ===a（a+2）=a2+2a，
∵a2+2a-1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故答案为：1．
【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后因式分解后约分即可化简；根据已知等式可以得到a2+2a=1，从而整体代入得到答案．
10．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先通分进行减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式分解后约分即可.
11．【答案】B
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：.
故答案为：B.
【分析】
由于这个人自A地到B地再返回A地路程时不改变的，因此可以设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可解答.
12．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：根据完全平方公式得：
，
，
，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用完全平方公式的变形求出(a+b)2，(a-b)2，然后求出商，再开方解答即可．
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知等式可得x+y=2xy，然后将待求式子分子、分母分别利用加法交换律、结合律及乘法分配律变形为含x+y的式子，从而整体代入，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
15．【答案】3
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】对分式中的分子分母进行因式分解化简即可.
16．【答案】（1）二
（2）解：
=x+2，
当x=5时，原式＝7.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
17．【答案】
；
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
18．【答案】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积
设瓶子的底面积为，即；水的体积为
∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为
∵瓶子的容积=底面积9+底面积(21-15)=底面积15，水的体积=底面积9，
∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积9)：(底面积15)=，
答：这个比值是。
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据两种放置的瓶子可得瓶子的体积为，然后用含a，b，h的式子表示比值，再代入数值计算解答即可.
19．【答案】（1）①③
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
【分析】（1）依据和谐分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）依据和谐分式的定义化简即可求出答案.
（3）依据和谐分式的定义，结合分式的混合运算即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册 5.2分式运算 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·坪山期末） 分式与的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式与的最简公分母是
故答案为： A
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案.
2．（2024八下·天桥月考）下列等式成立的是（ ）
A．+= B．= C．= D．=-1
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故此选项错误，不符合题意；
B．，故此选项错误，不符合题意；
C．，故此选项正确，符合题意；
D．，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可．
3．（2025八下·宜宾开学考）下列分式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解∶A．，则原计算错误，不符合题意；
B．，则原计算错误，不符合题意；
C．，则原计算错误，不符合题意；
D．，则原计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分式的混合运算，将各式计算得到结果，即可作出判断．
4．（2024八下·浑南期中）下列各式化简后，结果为1的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、．故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查分式的运算，根据分式的加减乘除运算法则，逐项进行计算判断即可求解.
5．（2024八下·宝安期末）如果，那么 的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：D．
【分析】根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
6．（2024八下·深圳期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】
本题考查了分式的化简求值，先根据可得出：，再根据分式的同分母分式加减运算法则：分母不变，分子相加减，化简，再将代入计算化简即可得出答案．
7．（2025八下·通川月考）若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2xy=y-x，
∴，
∴
=
=
=；
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再整体代入分式计算求解即可.
8．（2024八下·吉州月考）若，则的值为　 　．
【答案】0.5
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：0.5.
【分析】先将化简成，再把代入即可求解.
9．（2024八下·宝安期中）如果，那么代数式的值是　 　．
【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：（a-） ===a（a+2）=a2+2a，
∵a2+2a-1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故答案为：1．
【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后因式分解后约分即可化简；根据已知等式可以得到a2+2a=1，从而整体代入得到答案．
二、能力提升
10．（2025八下·岳阳开学考）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先通分进行减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式分解后约分即可.
11．（2024八下·罗湖期末）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：.
故答案为：B.
【分析】
由于这个人自A地到B地再返回A地路程时不改变的，因此可以设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可解答.
12．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（　　）
A．186 B．188 C．190 D．192
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
13．（2026八下·嘉兴月考）若 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：根据完全平方公式得：
，
，
，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用完全平方公式的变形求出(a+b)2，(a-b)2，然后求出商，再开方解答即可．
14．（2024八下·武侯期中）已知实数x，y满足，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知等式可得x+y=2xy，然后将待求式子分子、分母分别利用加法交换律、结合律及乘法分配律变形为含x+y的式子，从而整体代入，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
15．（2025八下·成华期末）已知，则代数式的值是　 　.
【答案】3
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】对分式中的分子分母进行因式分解化简即可.
16．（2025八下·深圳期末）下面是小化简分式的过程：
解：原式=.第一步 =第二步 =.第三步
（1）小华的化简过程从第　 　步开始山现错误；
（2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.
【答案】（1）二
（2）解：
=x+2，
当x=5时，原式＝7.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
17．（2020八下·长沙期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
；
当 时，原式 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
三、拓展创新
18．（2025·浙江竞赛）如图1，有一个高为hcm的瓶子，瓶中水面的高度为acm，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a=9，b=15，h=21时，求出这个比值。
【答案】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积
设瓶子的底面积为，即；水的体积为
∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为
∵瓶子的容积=底面积9+底面积(21-15)=底面积15，水的体积=底面积9，
∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积9)：(底面积15)=，
答：这个比值是。
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据两种放置的瓶子可得瓶子的体积为，然后用含a，b，h的式子表示比值，再代入数值计算解答即可.
19．（2024八下·临湘月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号）
①； ②； ③； ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
【答案】（1）①③
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
【分析】（1）依据和谐分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）依据和谐分式的定义化简即可求出答案.
（3）依据和谐分式的定义，结合分式的混合运算即可求出答案.
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