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北师大版数学八年级下册 5.2分式运算 第四课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2021八下·梁溪期末）分式 与 的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为： ，
故答案为：C.
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
2．（2024八下·宝安期末）如果，那么 的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：D．
【分析】根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
3．若 则 的值为(　　).
A．10 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：两边同时平方可得：
，即
整理得：
故答案为： D
【分析】将等号两边同时平方可得，即，整理得：，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
4．（2024八下·蒸湘期中）下列运算正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：A：，所以A不正确；
B：，所以B不正确；
C：，所以C不正确；
D：，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】利用分式的加减运算分别进行加减运算，即可得出答案。
5．（2024八下·贵阳期中）分式与的最简公分母是(　　)
A．2m+2 B．m+2 C．m+1 D．m2-1
【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：2m+2=2(m+1).
∴ 分式与的最简公分母是 ：2（m+1）=2m+2。
故答案为：A。
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案。
6．（2023八下·青羊期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的通分
【解析】【解答】解：A：，所以A不正确；
B：，所以B不正确；
C：，所以C正确；
D：，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】分别根据分式的基本性质，以及分式的运算法则，正确运算，即可得到答案。
7．（2024八下·江阴期中）分式与分式的最简公分母是　 　．
【答案】
【知识点】最简公分母
8．（2024八下·吉州月考）若，则的值为　 　．
【答案】0.5
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：0.5.
【分析】先将化简成，再把代入即可求解.
9．（2024八下·宝安期中）如果，那么代数式的值是　 　．
【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：（a-） ===a（a+2）=a2+2a，
∵a2+2a-1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故答案为：1．
【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后因式分解后约分即可化简；根据已知等式可以得到a2+2a=1，从而整体代入得到答案．
二、能力提升
10．已知x≠0，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】，故选D.
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，即可得到结果。分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
11．（2024八下·嘉善期末）记的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，则下列判断中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；因式分解﹣十字相乘法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵a，b，c为三角形的三边，
∴，
∴，
整理得，即，
∴或.
①若，则，
∵，
∴，
∴；
②若，则，
∵，
∴，
∴，
综上，一定成立，故选项B正确，符合题意，
故答案为：B．
【分析】通过异分母分式的加法运算和分式的化简得到，则或，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解即可．
12．已知 ，，，则 的值是(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
三式相加可得：，即
∴
∴
故答案为： D
【分析】由题意，将前三个式子取倒数进行化简可得，，，三式相加可得，化简，再取倒数即可求出答案.
13．（2025八下·鄞州期中）已知实数满足，，则的值为　 　
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义可得m、n是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，然后根据一元二次方程根与系数的关系“设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，”求出m+n与mn的值，进而将待求式子通分计算后利用配方法将分子变形为(m+n)2-2mn，最后整体代入计算可得答案.
14．（2024八下·武侯期中）已知实数x，y满足，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知等式可得x+y=2xy，然后将待求式子分子、分母分别利用加法交换律、结合律及乘法分配律变形为含x+y的式子，从而整体代入，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
15．（2025八下·温江期末）已知：，，，则的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
∴，
∴
故答案为：-2.
【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值.
16．（2025八下·衡阳期末） 先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
.
将 代入，得.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先将括号内的分式通分并合并，然后将除法转化为乘法，利用因式分解约分，最后代入x=2求值.
17．（2025八下·罗湖期末） 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程.
小颖：原式=
···
小红：原式=
（1）小颖解法的依据是（　　），小红解法的依据是（　　）
A. 分式的基本性质
B. 等式的基本性质
C. 乘法结合律
D. 乘法分配律
（2） 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“-2，1，2”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
【答案】（1）A，D
（2）解：①选择小颖解法
原式
当x=1时，原式=
②选择小红解法
原式
当x=1时，原式=
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质结合乘法分配律即可求解；
（2）根据分式的化简结合题意选择其中一种解法化简，进而根据分式有意义的条件代入数值即可求解。
三、拓展创新
18．（2024八下·吉安月考）观察下列等式.
第1个等式：.
第2个等式：.
第3个等式：.
第4个等式：.
……
（1）按上面的规律，第6个等式为　 　.
（2）请你归纳出第n个等式（用含n的等式表示，n为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论.
【答案】（1）
（2）.
证明：
，
.
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）观察以下等式：
第1个等式：.
第2个等式：.
第3个等式：.
第4个等式：.
不难发现：
第n个等式 为：
当n=6时，等式为：
故答案为：
【分析】通过观察发现：
等式的右边的最后一项的分母分解成：等式的另两个分母的积，从而找出规律.
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上， 老师提出了下面的问题：
， 试比较 与 的大小.
小华： 整式的大小比较可采用"作差法".
老师： 比较 与 的大小.
小华：
老师： 分式的大小比较能用"作差法"吗
（1） 【问题解决】
请用"作差法"完成老师提出的问题.
（2）【问题应用】
数学来源于生活， 生活中处处有数学， 我们用平时喝的糖水做"糖水实验"也能验证一些数学结论. 现有 克榶水， 其中含有 克糖 )， 则榶水的浓度（即榶与榶水的质量比）为 。
实验 1： 加入 克水， 则糖水的浓度为 生活经验告诉我们， 糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式： ， 我们趣称为"榶水不等式".
实验 2：将"实验 1 "中的"加入 克水"改为"加入 克糖"， 则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验， 请你写出一个新的"榶水不等式"： ▲ ，并验证你写的不等式的正确性.
（3） 设 为 三边的长， 根据上述实验 2 的结论，
求证： .
【答案】（1）解：
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入克糖后，糖水浓度为，
，
，
，
又
，
（3）证明：、、为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；整式的大小比较；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据分式的加减运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到加入克糖后，糖水浓度为，进而根据分式作差的结果即可求解；
（3）先根据三角形三边关系得出，，，进而根据分式的性质、分式的加减法结合题意证明即可求解。
1 / 1北师大版数学八年级下册 5.2分式运算 第四课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2021八下·梁溪期末）分式 与 的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·宝安期末）如果，那么 的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．若 则 的值为(　　).
A．10 B．8 C． D．
4．（2024八下·蒸湘期中）下列运算正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·贵阳期中）分式与的最简公分母是(　　)
A．2m+2 B．m+2 C．m+1 D．m2-1
6．（2023八下·青羊期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·江阴期中）分式与分式的最简公分母是　 　．
8．（2024八下·吉州月考）若，则的值为　 　．
9．（2024八下·宝安期中）如果，那么代数式的值是　 　．
二、能力提升
10．已知x≠0，则等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·嘉善期末）记的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，则下列判断中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知 ，，，则 的值是(　　).
A． B． C． D．
13．（2025八下·鄞州期中）已知实数满足，，则的值为　 　
14．（2024八下·武侯期中）已知实数x，y满足，则　 　．
15．（2025八下·温江期末）已知：，，，则的值为　 　.
16．（2025八下·衡阳期末） 先化简，再求值：，其中．
17．（2025八下·罗湖期末） 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程.
小颖：原式=
···
小红：原式=
（1）小颖解法的依据是（　　），小红解法的依据是（　　）
A. 分式的基本性质
B. 等式的基本性质
C. 乘法结合律
D. 乘法分配律
（2） 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“-2，1，2”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
三、拓展创新
18．（2024八下·吉安月考）观察下列等式.
第1个等式：.
第2个等式：.
第3个等式：.
第4个等式：.
……
（1）按上面的规律，第6个等式为　 　.
（2）请你归纳出第n个等式（用含n的等式表示，n为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论.
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上， 老师提出了下面的问题：
， 试比较 与 的大小.
小华： 整式的大小比较可采用"作差法".
老师： 比较 与 的大小.
小华：
老师： 分式的大小比较能用"作差法"吗
（1） 【问题解决】
请用"作差法"完成老师提出的问题.
（2）【问题应用】
数学来源于生活， 生活中处处有数学， 我们用平时喝的糖水做"糖水实验"也能验证一些数学结论. 现有 克榶水， 其中含有 克糖 )， 则榶水的浓度（即榶与榶水的质量比）为 。
实验 1： 加入 克水， 则糖水的浓度为 生活经验告诉我们， 糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式： ， 我们趣称为"榶水不等式".
实验 2：将"实验 1 "中的"加入 克水"改为"加入 克糖"， 则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验， 请你写出一个新的"榶水不等式"： ▲ ，并验证你写的不等式的正确性.
（3） 设 为 三边的长， 根据上述实验 2 的结论，
求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为： ，
故答案为：C.
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：D．
【分析】根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
3．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：两边同时平方可得：
，即
整理得：
故答案为： D
【分析】将等号两边同时平方可得，即，整理得：，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】同分母分式的加、减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：A：，所以A不正确；
B：，所以B不正确；
C：，所以C不正确；
D：，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】利用分式的加减运算分别进行加减运算，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：2m+2=2(m+1).
∴ 分式与的最简公分母是 ：2（m+1）=2m+2。
故答案为：A。
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的通分
【解析】【解答】解：A：，所以A不正确；
B：，所以B不正确；
C：，所以C正确；
D：，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】分别根据分式的基本性质，以及分式的运算法则，正确运算，即可得到答案。
7．【答案】
【知识点】最简公分母
8．【答案】0.5
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：0.5.
【分析】先将化简成，再把代入即可求解.
9．【答案】1
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：（a-） ===a（a+2）=a2+2a，
∵a2+2a-1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故答案为：1．
【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后因式分解后约分即可化简；根据已知等式可以得到a2+2a=1，从而整体代入得到答案．
10．【答案】D
【知识点】分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】，故选D.
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，即可得到结果。分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；因式分解﹣十字相乘法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵a，b，c为三角形的三边，
∴，
∴，
整理得，即，
∴或.
①若，则，
∵，
∴，
∴；
②若，则，
∵，
∴，
∴，
综上，一定成立，故选项B正确，符合题意，
故答案为：B．
【分析】通过异分母分式的加法运算和分式的化简得到，则或，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解即可．
12．【答案】D
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
三式相加可得：，即
∴
∴
故答案为： D
【分析】由题意，将前三个式子取倒数进行化简可得，，，三式相加可得，化简，再取倒数即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义可得m、n是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，然后根据一元二次方程根与系数的关系“设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，”求出m+n与mn的值，进而将待求式子通分计算后利用配方法将分子变形为(m+n)2-2mn，最后整体代入计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知等式可得x+y=2xy，然后将待求式子分子、分母分别利用加法交换律、结合律及乘法分配律变形为含x+y的式子，从而整体代入，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
15．【答案】-2
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
∴，
∴
故答案为：-2.
【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值.
16．【答案】解：
.
将 代入，得.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先将括号内的分式通分并合并，然后将除法转化为乘法，利用因式分解约分，最后代入x=2求值.
17．【答案】（1）A，D
（2）解：①选择小颖解法
原式
当x=1时，原式=
②选择小红解法
原式
当x=1时，原式=
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质结合乘法分配律即可求解；
（2）根据分式的化简结合题意选择其中一种解法化简，进而根据分式有意义的条件代入数值即可求解。
18．【答案】（1）
（2）.
证明：
，
.
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）观察以下等式：
第1个等式：.
第2个等式：.
第3个等式：.
第4个等式：.
不难发现：
第n个等式 为：
当n=6时，等式为：
故答案为：
【分析】通过观察发现：
等式的右边的最后一项的分母分解成：等式的另两个分母的积，从而找出规律.
19．【答案】（1）解：
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入克糖后，糖水浓度为，
，
，
，
又
，
（3）证明：、、为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；整式的大小比较；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据分式的加减运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到加入克糖后，糖水浓度为，进而根据分式作差的结果即可求解；
（3）先根据三角形三边关系得出，，，进而根据分式的性质、分式的加减法结合题意证明即可求解。
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