资源简介

北师大版数学八年级下册 5.3分式方程 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·西安期末）若关于的方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
2．（2024八下·淮阳月考）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
4．（2025八下·冷水江期中）将关于的分式方程去分母可得（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·湖里期末）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2017八下·宁德期末）将分式方程 化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2=3 B．x+2=3
C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2）
7．（2025八下·盐田期末） 已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　.
8．（2025八下·开福期末） 为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程　 　．
9．（2025八下·江门开学考）分式方程的解为　 　．
二、能力提升
10．（2024八下·台州开学考）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（　　）
A． B． C． D．
11．（2023八下·新都期末）已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
12．（2023八下·西安期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
13．（2025八下·达川期末）若关于的方程无解，则的值为　 　．
14．（2023八下·宁武期中）已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是　 　．
15．（2020八下·襄汾期末）某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为　 　．
16．（2021八下·灌南期末）解方程
（1）
（2）
17．（2025八下·岳阳开学考）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”． 如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”的值为_________；
（2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；②求的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值．
三、拓展创新
18．观察下列方程及其解的特征：
的解为
的解为
的解为
……
解答下列问题：
（1）请猜想：方程 的解为　 　.
（2）请猜想：关于x的方程 　 　的解为 ，
（3）下面以解方程 为例，验证(1)中猜想结论的正确性.
（4）解分式方程
19．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，两边都乘以得：，
关于的方程有增根，
，
解得：，
∴，
．
故选：A．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，
依题意得：．
故选：A
【分析】设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，建立方程即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，
得．
故选：B．
【分析】将原分式方程两边同乘去分母即可解答．
5．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】先去分母，化为一元一次方程求解，再验根．
6．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x+2=3（x-2），
故选D.
7．【答案】-2
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得，-mx=2-2(x-1)，即-mx=-2x+4
∵分式方程有增根，即x=1
将x=1代入上式可得
-m=-2+4，解得：m=-2
故答案为： -2
【分析】去分母转换为整式方程，再根据方程有增根，将x=1代入整式方程即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，则：
故答案为：
【分析】设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，根据甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍列出方程即可.
9．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，方程的两边同时乘以得：
，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：将代入，
∴是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解得到x的值，最后进行验根，即可得到分式方程的解．
10．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，甲每天完成，设乙单独施工需要x天完成，则乙每天完成，可得等量关系：甲单独30天的工作量+甲和乙合作15天的工作量=1，
可得方程：，
整理得：.
故答案为：A.
【分析】根据题意得等量关系：甲单独30天的工作量+甲和乙合作15天的工作量=1，表示出甲和乙每天的工作量，代入即可得到方程.
11．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
∴3a=2a-1，
∴a=-1，
故答案为：C.
【分析】将代入，再求出a的值即可.
12．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
去分母，得：1-m-2(x-1)=-2，
去括号，得：1-m-2x+2=-2，
移项，得：-2x=-2-2-1+m，
合并同类项，得：-2x=m-5，
系数化为1，得：x=，
∵ 分式方程的解是非负数
∴，
解得：且．
故答案为：C．
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解是非负数和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
13．【答案】或
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
整理得：，
即，
当，整式方程无解，满足题意，此时；
当，，此时，
此时分式方程无解，
∴或，
代入得：（无解）或，
解得：，
综上可得，的值为或．
【分析】先将分式方程转化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可．
14．【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘以
得：
解得：
检验： ， 得
又∵方程的解为负数，得
解得：
故：答案为
【分析】本题考查分式方程的解及分式有意义的条件（分母不为零）
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修1.5x米，
可得：
故答案为：
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可．
16．【答案】（1）解：去分母，得5（2x+1）=x-1，
去括号，得10x+5=x-1，
移项，合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得x= ，
检验：把x= 代入（x-1）（2x+1）≠0，
所以x= 是原方程的解；
（2）解：去分母，得1+2（x-2）=x-1，
去括号，得1+2x-4=x-1，
移项，合并同类项，得x=2，
检验：把x=2代入x-2=0，
所以此方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】直接根据解分式方程的步骤：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解即可.
17．【答案】（1）
（2）①，，
与互为“和整分式”，且“和整值”
②，且分式的值为正整数且为正整数
或
或
为正整数
(舍去)，则的值为1.
（3）解：由题意可得：
，整理得：
当，解得：，方程无解
当，方程无解，则有增根
将代入得，，解得：
综上：的值为：1或.

【知识点】分式的基本性质；分式的混合运算；分式的化简求值；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】(1)解：分式，互为和整分式
，
其和整值的值为2
【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键.
(1)根据"和整分式"定义，计算A+B的结果，其值即为和整值k.需对A，B进行分式加法运算，同分母分式相加，分母不变，分子相加后化简
（2）①先将C，D通分相加，根据和整分式定义，和为3(和整值k=3)，由此建立等式求解G.通分需利用平方差公式，将C化为分母为(x+2)(x-2)的分式，再与D相加②先将D化简，根据D的值为正整数且x为正整数，可得或，进而求出x.
(3)先根据(2)的结果确定t的值，再代入P+Q=t得到分式方程，然后分情况讨论方程无解的情况：一是整式方程本身无解(一次项系数为0 )；二是分式方程有增根(分母为0 )，据此求解m.
（1）解：分式，互为“和整分式”，
，
其“和整值”的值为2；
（2）①，，
，
与互为“和整分式”，且“和整值”，
，
；
②，且分式的值为正整数且为正整数，
或，
或 ，
为正整数，
（舍去），则的值为1 ；
（3）由题意可得：，
，
，
，整理得：，
当，解得：，方程无解，
当，方程无解，则有增根，
将代入得，，解得：，
综上：的值为：1或．
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：
去分母，得：5x2+5=26x，
移项，得：5x2-26x+5=0，
（x-5）（5x-1）=0，
∴；
所以猜想正确；
（4）解：原方程整理，得
即2x-
得2x-3=a或
故 或
【知识点】换元法解分式方程；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】（1）∵的解为
的解为
的解为
……
∴的解为：，
∴即的解为：；
故答案为：；
（2）由（1）知：的解为：，
∴的解为，
故答案为：；
【分析】（1）本题通过观察给出的方程及其解的特征，总结规律的解为：，从而猜想出方程的解；
（2）由（1）得出的规律，根据方程的解，即可猜想出方程为；
（3）解分式方程，求出方程的解，从而验证出（1）的猜想正确；
（4） 把 分式方程 转化为 （2）中方程的形式特征，从而根据解的规律，可直接得出方程的解。
19．【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
1 / 1北师大版数学八年级下册 5.3分式方程 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·西安期末）若关于的方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，两边都乘以得：，
关于的方程有增根，
，
解得：，
∴，
．
故选：A．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程即可求出答案.
2．（2024八下·淮阳月考）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，
依题意得：．
故选：A
【分析】设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，建立方程即可求出答案.
3．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．（2025八下·冷水江期中）将关于的分式方程去分母可得（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘，
得．
故选：B．
【分析】将原分式方程两边同乘去分母即可解答．
5．（2023八下·湖里期末）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】先去分母，化为一元一次方程求解，再验根．
6．（2017八下·宁德期末）将分式方程 化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2=3 B．x+2=3
C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2）
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x+2=3（x-2），
故选D.
7．（2025八下·盐田期末） 已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　.
【答案】-2
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得，-mx=2-2(x-1)，即-mx=-2x+4
∵分式方程有增根，即x=1
将x=1代入上式可得
-m=-2+4，解得：m=-2
故答案为： -2
【分析】去分母转换为整式方程，再根据方程有增根，将x=1代入整式方程即可求出答案.
8．（2025八下·开福期末） 为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，则：
故答案为：
【分析】设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，根据甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍列出方程即可.
9．（2025八下·江门开学考）分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，方程的两边同时乘以得：
，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：将代入，
∴是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解得到x的值，最后进行验根，即可得到分式方程的解．
二、能力提升
10．（2024八下·台州开学考）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，甲每天完成，设乙单独施工需要x天完成，则乙每天完成，可得等量关系：甲单独30天的工作量+甲和乙合作15天的工作量=1，
可得方程：，
整理得：.
故答案为：A.
【分析】根据题意得等量关系：甲单独30天的工作量+甲和乙合作15天的工作量=1，表示出甲和乙每天的工作量，代入即可得到方程.
11．（2023八下·新都期末）已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
∴3a=2a-1，
∴a=-1，
故答案为：C.
【分析】将代入，再求出a的值即可.
12．（2023八下·西安期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
去分母，得：1-m-2(x-1)=-2，
去括号，得：1-m-2x+2=-2，
移项，得：-2x=-2-2-1+m，
合并同类项，得：-2x=m-5，
系数化为1，得：x=，
∵ 分式方程的解是非负数
∴，
解得：且．
故答案为：C．
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解是非负数和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
13．（2025八下·达川期末）若关于的方程无解，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
整理得：，
即，
当，整式方程无解，满足题意，此时；
当，，此时，
此时分式方程无解，
∴或，
代入得：（无解）或，
解得：，
综上可得，的值为或．
【分析】先将分式方程转化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可．
14．（2023八下·宁武期中）已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是　 　．
【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘以
得：
解得：
检验： ， 得
又∵方程的解为负数，得
解得：
故：答案为
【分析】本题考查分式方程的解及分式有意义的条件（分母不为零）
15．（2020八下·襄汾期末）某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修1.5x米，
可得：
故答案为：
【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可．
16．（2021八下·灌南期末）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母，得5（2x+1）=x-1，
去括号，得10x+5=x-1，
移项，合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得x= ，
检验：把x= 代入（x-1）（2x+1）≠0，
所以x= 是原方程的解；
（2）解：去分母，得1+2（x-2）=x-1，
去括号，得1+2x-4=x-1，
移项，合并同类项，得x=2，
检验：把x=2代入x-2=0，
所以此方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】直接根据解分式方程的步骤：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解即可.
17．（2025八下·岳阳开学考）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”． 如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”的值为_________；
（2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；②求的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值．
【答案】（1）
（2）①，，
与互为“和整分式”，且“和整值”
②，且分式的值为正整数且为正整数
或
或
为正整数
(舍去)，则的值为1.
（3）解：由题意可得：
，整理得：
当，解得：，方程无解
当，方程无解，则有增根
将代入得，，解得：
综上：的值为：1或.

【知识点】分式的基本性质；分式的混合运算；分式的化简求值；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】(1)解：分式，互为和整分式
，
其和整值的值为2
【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键.
(1)根据"和整分式"定义，计算A+B的结果，其值即为和整值k.需对A，B进行分式加法运算，同分母分式相加，分母不变，分子相加后化简
（2）①先将C，D通分相加，根据和整分式定义，和为3(和整值k=3)，由此建立等式求解G.通分需利用平方差公式，将C化为分母为(x+2)(x-2)的分式，再与D相加②先将D化简，根据D的值为正整数且x为正整数，可得或，进而求出x.
(3)先根据(2)的结果确定t的值，再代入P+Q=t得到分式方程，然后分情况讨论方程无解的情况：一是整式方程本身无解(一次项系数为0 )；二是分式方程有增根(分母为0 )，据此求解m.
（1）解：分式，互为“和整分式”，
，
其“和整值”的值为2；
（2）①，，
，
与互为“和整分式”，且“和整值”，
，
；
②，且分式的值为正整数且为正整数，
或，
或 ，
为正整数，
（舍去），则的值为1 ；
（3）由题意可得：，
，
，
，整理得：，
当，解得：，方程无解，
当，方程无解，则有增根，
将代入得，，解得：，
综上：的值为：1或．
三、拓展创新
18．观察下列方程及其解的特征：
的解为
的解为
的解为
……
解答下列问题：
（1）请猜想：方程 的解为　 　.
（2）请猜想：关于x的方程 　 　的解为 ，
（3）下面以解方程 为例，验证(1)中猜想结论的正确性.
（4）解分式方程
【答案】（1）
（2）
（3）解：
去分母，得：5x2+5=26x，
移项，得：5x2-26x+5=0，
（x-5）（5x-1）=0，
∴；
所以猜想正确；
（4）解：原方程整理，得
即2x-
得2x-3=a或
故 或
【知识点】换元法解分式方程；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】（1）∵的解为
的解为
的解为
……
∴的解为：，
∴即的解为：；
故答案为：；
（2）由（1）知：的解为：，
∴的解为，
故答案为：；
【分析】（1）本题通过观察给出的方程及其解的特征，总结规律的解为：，从而猜想出方程的解；
（2）由（1）得出的规律，根据方程的解，即可猜想出方程为；
（3）解分式方程，求出方程的解，从而验证出（1）的猜想正确；
（4） 把 分式方程 转化为 （2）中方程的形式特征，从而根据解的规律，可直接得出方程的解。
19．（2025八下·禅城期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
（1）已知，则______．
（2）已知，求的值．
（3）解关于，的方程组．
【答案】（1）6
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
【知识点】倒数法解分式方程；分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题．
参考材料一中的思路，取得倒数，可得：，所以有，计算得出；
参考材料二，引入参数k，设，将a，b，c用k表达：，，，代入代数式，原式；
分别取方程组中的两个方程的倒数，可得：，解方程组分别求出和，所以 方程组的解为 ．
（1）解：，
，
，
移项得：，
故答案为：；
（2）解：设知，
则，，，
；
（3）解：，
由可得：，
整理得：，
由可得：，
整理得：，
可得：，
得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
方程组的解为．
1 / 1

展开更多......

收起↑