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北师大版数学八年级下册 5.3分式方程 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025·德州）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
2．（2026八上·涪城期末）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． = +6 B． = -6
C． = +6 D． = -6
3．（2025八上·石家庄月考）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026九上·长沙期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026八上·游仙期末）某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网.施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度.设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·梧州模拟）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八下·嘉兴月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答、经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程 进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方　 　5元(填“涨价”或“优惠”)，结果比上次　 　买了10个(填“多”或“少”)．
8．（2025·莲都模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为　 　．
9．（2024八下·英吉沙月考）为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐车道于年月日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约千米，该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了，行驶时间平均减少了分钟．设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米，则可列方程　 　．
二、能力提升
10．（2026九下·深圳开学考）李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件.已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件 设张师傅每小时做手工艺品x件，则根据题意，可列出方程是 （　　）
A．40x=50（x-4) B．40+x=50-4x
C． D．
11．（2026九下·深圳开学考）长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了 长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
12．（2026八上·望城期末）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的正确方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025八上·宣化期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是　 　．
14．（2024·徐州模拟）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为　 　．
15．（2025八上·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问：6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则根据题意可列方程为　 　.
16．（2025八上·碧江月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍，
（1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品
17．（2025八下·仁寿期中）随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料；
（2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
三、拓展创新
18．（2025八上·桂林期末）综合与实践
【问题情景】2024年10月26日至11月3日，桂林成功举办了艺术节，推出了多款以桂林艺术节为主题的文创产品，推动了桂林本地文旅产品经济的发展．某商店老板购进冰箱贴和手提包两种文创产品进行销售．已知用750元购进手提包的数量比用500元购进冰箱贴的数量少20个，且手提包进价是冰箱贴进价的倍．求冰箱贴和手提包的进价各是多少元？
【问题解决】（1）根据题意，小林同学列出如下方程：
小林同学：，解得，经检验是原方程的解，且符合题意．
小林同学所列方程中的x表示______；
【方法迁移】（2）小桂同学有不同的解法，若他设冰箱贴的进价是y元，请你帮他完成解答．
【拓展应用】（3）由于文创产品销售火爆，该老板再次以同样的价格进购商品．若购进冰箱贴的数量比手提包的数量的2倍少3个，且购进冰箱贴，手提包两种文创品的总资金不超过1320元，则最多可以购进手提包多少个？
19．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：
故答案为：C.
【分析】需先分别表示出A型和B型包装箱的数量，再根据"B型包装箱数量比A型少6个"这一等量关系列方程.
3．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得；
故选C．
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里，
由题意可得：
故选： B.
【分析】根据题意可知：步行的时间=牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程.
5．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天改造管网x米，
列方程得，
故选：B.
【分析】设原计划每天改造管网x米，根据“计划改造一段长5400米的老街道地下管网，实际每天的施工效率比原计划提高了20%，比原计划提前15天完成任务”列分式方程解答．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，则现在每分钟进站的旅客人数为3x人，由工作总量除以工作小丑等于工作时间及现在300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程．
7．【答案】优惠；少
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵设第一次购买了x个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个，
∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且，
∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元，
∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．
故答案为：优惠；少.
【分析】根据题意可得出表示第二次购买魔方的数量，根据“第二次比第一次少买 10 个”列分式方程解答即可．
8．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故答案为：．
【分析】根据题意可得：慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度-慢马的速度×2即可列出关于x的方程．
9．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米， 由题意可得，
故答案为：.
【分析】 设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米，根据等量关系即可求得关于x的分式方程.
10．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设张师傅每小时做手工艺品x件，则李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，结合题意列式。
故答案为：D.
【分析】本题先根据条件“张师傅比李师傅每小时少做4件”，则可以得出李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，而张师傅做40件需要小时，李师傅做50件需要小时，条件“ 张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等 ”，因此可以列出分式方程，从而得出答案。
11．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
解： 设原计划每天种植的面积为，
由题意得， ，
故答案为：D.
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用， 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解．
12．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同
∵甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为
∴
故答案为：B.
【分析】先确定甲、乙每天做的零件数，再根据做零件所用时间相同列方程。
13．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，
根据题意，得，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为： ．
【分析】
设小敏通过AB路段的速度为x米/秒，则通过BC路段的速度为1.2x米/秒，根据速度与时间的关系（时间=路程÷速度）分别表示出通过AB和BC路段的时间，再结合总时间为22秒这一条件建立方程求解。
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，小刚骑自行车的速度是：，
∵若二人同时到达，则小明需提前出发，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据“时间=路程÷速度”分别表示出小明和小刚的时间，结合“二人同时到达，小明需提前4分钟出发（即小刚的总时间等于小明的时间减4分钟）”，这一条件进而列出分式方程即可；
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，则根据题意可列方程为 ：
故答案为：.
【分析】设这批椽的数量为x株，根据 少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 即可得出方程：。
16．【答案】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，根据用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据所花费用不超过6400元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
17．【答案】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）解：设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题要点包括：（1）根据题意建立分式方程并求解；（2）根据约束条件建立不等式并求解。
（1）设B型机器人的工作效率为每小时搬运千克原料，则A型机器人的效率为千克/小时。根据"工作时间=工作量÷效率"的关系式，结合题目给出的A型完成1500kg与B型完成1200kg耗时相等的条件，建立关于的分式方程，求解后需验证根的合理性。
（2）设A型机器人承担千克的搬运任务，则B型机器人分担千克。根据总工作时间不超过4小时的限制条件，利用效率参数建立关于的一元一次不等式，求解时需注意取最小值。
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
18．【答案】（1）购进冰箱贴的数量；
（2）解：设冰箱贴的进价是y元，则手提包进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
则（元），
答：冰箱贴的进价为10元/个，手提包的进价为25元/个．
（3）设购进手提包m个，则购进冰箱贴个，根据题意得：
，
解得：，
答：最多可以购进手提包30个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵小林同学列出的方程，
∴x表示购进冰箱贴的数量；
【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可求出答案.
（2）设冰箱贴的进价是y元，则手提包进价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设购进手提包m个，则购进冰箱贴个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册 5.3分式方程 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025·德州）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
2．（2026八上·涪城期末）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． = +6 B． = -6
C． = +6 D． = -6
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：
故答案为：C.
【分析】需先分别表示出A型和B型包装箱的数量，再根据"B型包装箱数量比A型少6个"这一等量关系列方程.
3．（2025八上·石家庄月考）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得；
故选C．
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案.
4．（2026九上·长沙期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里，
由题意可得：
故选： B.
【分析】根据题意可知：步行的时间=牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程.
5．（2026八上·游仙期末）某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网.施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度.设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天改造管网x米，
列方程得，
故选：B.
【分析】设原计划每天改造管网x米，根据“计划改造一段长5400米的老街道地下管网，实际每天的施工效率比原计划提高了20%，比原计划提前15天完成任务”列分式方程解答．
6．（2025·梧州模拟）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，则现在每分钟进站的旅客人数为3x人，由工作总量除以工作小丑等于工作时间及现在300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程．
7．（2026八下·嘉兴月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答、经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程 进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方　 　5元(填“涨价”或“优惠”)，结果比上次　 　买了10个(填“多”或“少”)．
【答案】优惠；少
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵设第一次购买了x个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个，
∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且，
∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元，
∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个．
故答案为：优惠；少.
【分析】根据题意可得出表示第二次购买魔方的数量，根据“第二次比第一次少买 10 个”列分式方程解答即可．
8．（2025·莲都模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故答案为：．
【分析】根据题意可得：慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度-慢马的速度×2即可列出关于x的方程．
9．（2024八下·英吉沙月考）为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐车道于年月日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约千米，该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了，行驶时间平均减少了分钟．设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米，则可列方程　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米， 由题意可得，
故答案为：.
【分析】 设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶千米，根据等量关系即可求得关于x的分式方程.
二、能力提升
10．（2026九下·深圳开学考）李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件.已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件 设张师傅每小时做手工艺品x件，则根据题意，可列出方程是 （　　）
A．40x=50（x-4) B．40+x=50-4x
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设张师傅每小时做手工艺品x件，则李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，结合题意列式。
故答案为：D.
【分析】本题先根据条件“张师傅比李师傅每小时少做4件”，则可以得出李师傅每小时做手工艺品（x+4）件，而张师傅做40件需要小时，李师傅做50件需要小时，条件“ 张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等 ”，因此可以列出分式方程，从而得出答案。
11．（2026九下·深圳开学考）长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了 长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
解： 设原计划每天种植的面积为，
由题意得， ，
故答案为：D.
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用， 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解．
12．（2026八上·望城期末）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的正确方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同
∵甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为
∴
故答案为：B.
【分析】先确定甲、乙每天做的零件数，再根据做零件所用时间相同列方程。
13．（2025八上·宣化期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，
根据题意，得，
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且符合题意．
故答案为： ．
【分析】
设小敏通过AB路段的速度为x米/秒，则通过BC路段的速度为1.2x米/秒，根据速度与时间的关系（时间=路程÷速度）分别表示出通过AB和BC路段的时间，再结合总时间为22秒这一条件建立方程求解。
14．（2024·徐州模拟）小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，小刚骑自行车的速度是：，
∵若二人同时到达，则小明需提前出发，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据“时间=路程÷速度”分别表示出小明和小刚的时间，结合“二人同时到达，小明需提前4分钟出发（即小刚的总时间等于小明的时间减4分钟）”，这一条件进而列出分式方程即可；
15．（2025八上·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问：6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则根据题意可列方程为　 　.
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，则根据题意可列方程为 ：
故答案为：.
【分析】设这批椽的数量为x株，根据 少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 即可得出方程：。
16．（2025八上·碧江月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍，
（1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品
【答案】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，根据用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据所花费用不超过6400元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，
解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
17．（2025八下·仁寿期中）随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料；
（2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
【答案】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）解：设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题要点包括：（1）根据题意建立分式方程并求解；（2）根据约束条件建立不等式并求解。
（1）设B型机器人的工作效率为每小时搬运千克原料，则A型机器人的效率为千克/小时。根据"工作时间=工作量÷效率"的关系式，结合题目给出的A型完成1500kg与B型完成1200kg耗时相等的条件，建立关于的分式方程，求解后需验证根的合理性。
（2）设A型机器人承担千克的搬运任务，则B型机器人分担千克。根据总工作时间不超过4小时的限制条件，利用效率参数建立关于的一元一次不等式，求解时需注意取最小值。
（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料，
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料；
（2）设A型机器人要搬运千克原料，
由题意得：
解得：
答：A型机器人至少要搬运400千克原料．
三、拓展创新
18．（2025八上·桂林期末）综合与实践
【问题情景】2024年10月26日至11月3日，桂林成功举办了艺术节，推出了多款以桂林艺术节为主题的文创产品，推动了桂林本地文旅产品经济的发展．某商店老板购进冰箱贴和手提包两种文创产品进行销售．已知用750元购进手提包的数量比用500元购进冰箱贴的数量少20个，且手提包进价是冰箱贴进价的倍．求冰箱贴和手提包的进价各是多少元？
【问题解决】（1）根据题意，小林同学列出如下方程：
小林同学：，解得，经检验是原方程的解，且符合题意．
小林同学所列方程中的x表示______；
【方法迁移】（2）小桂同学有不同的解法，若他设冰箱贴的进价是y元，请你帮他完成解答．
【拓展应用】（3）由于文创产品销售火爆，该老板再次以同样的价格进购商品．若购进冰箱贴的数量比手提包的数量的2倍少3个，且购进冰箱贴，手提包两种文创品的总资金不超过1320元，则最多可以购进手提包多少个？
【答案】（1）购进冰箱贴的数量；
（2）解：设冰箱贴的进价是y元，则手提包进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
则（元），
答：冰箱贴的进价为10元/个，手提包的进价为25元/个．
（3）设购进手提包m个，则购进冰箱贴个，根据题意得：
，
解得：，
答：最多可以购进手提包30个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵小林同学列出的方程，
∴x表示购进冰箱贴的数量；
【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可求出答案.
（2）设冰箱贴的进价是y元，则手提包进价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设购进手提包m个，则购进冰箱贴个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．（2025八下·坪山期末）导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线：
信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道
信息一 距离 39千米 42千米
信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰 时段(7：30-9：30和18：00-20：00)，大巴车的平均速度将下降为原来的 80%
信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟.
⑴任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时.
⑵任务二 某旅游公司要在早上7：55前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗 湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴 车的出发时间不能晚于什么时间
【答案】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时
由题意可得：，解得：v=45
∴=48.75
∴ 非高峰时段路线②的平均速度为45千米/时，则路线①的平均速度为48.75千米/时
（2）晚高峰时段路线②的平均速度为45×80%=36千米/时
路线②的行驶时间为(小时)=70分钟
∴出发时间需满足7：55-70分钟，即为6：45
∴大巴车的出发时间不能晚于6：45
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】 【分析】（1）设非高峰时段路线②的平均速度为v千米/时，则路线①的平均速度为千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出晚高峰时段路线②的平均速度，再求出所需要的时间，即可求出答案.
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