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参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B
2. A
3. C
4. B
5. D
6. C
7. D
8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. ACD
11. AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 5
13. 3
14. ①. 6 ②.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1），则，
由题意可得，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
16. （1），
由，
得，
两式相减，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以，
所以
17. （1）因为平面，平面，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面.
又平面，所以，
因为，所以.
（2）因为平面，所以是和平面所成角，
在中，，
在中，，
于是在中，，
又因为，所以.
由平面和第（1）问，可知、、两两垂直，
故以为原点建立如下图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
于是，，，，
设平面的一个法向量为，
由，可得，取，
设平面一个法向量为，
由，可得，取，
于是，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
18. （1）设，则，
化简可得，则，
，
所以，则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，
，将直线和椭圆方程联立，
代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
所以，
令则，所以，
函数在上单调递增，
所以即时，，
此时的面积最大，最大值为；
（3）假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，
所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，
解得，故存在，使得.
19. （1）函数的定义域为.
.
因为恒成立，所以当时，恒成立，是增函数；
当时，令，得.
因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，是增函数；
当时，在上单调递减；在上单调递增.
（2）由（1）得，当时，是增函数，无最小值；
当时，单调在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为.
，定义域为.
.
当时，恒成立，是减函数，无最小值；
当时，令，得.
因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
因为与有相同的最小值，所以，即.
令，则.
令，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以在处取得最大值，最大值为.
所以是减函数.
因为，所以方程有唯一实数根.
所以.
（3），证明如下：
函数的定义域为.
.
设是的两个不同的极值点，则是方程，即的两个不同实根.
即，所以.
令，则.
令，则.
令，则.
因为，所以恒成立，所以为增函数.
所以，即，所以为增函数，所以.
因为，所以，即.
即.厦门大学附属科技中学2025-2026学年下学期第一次阶段性测试
高二数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 3 D.
2. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）
A. 81 B. 64 C. 12 D. 36
3. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 在二项式展开式中，下列说法不正确的是（ ）
A. 第四项二项式系数最大 B. 常数项为第四项
C. 有理项共有4项 D. 所有项二项式系数之和为64
5. 若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 用红 黄 蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A 18 B. 24 C. 30 D. 36
7. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则以下说法错误的是（ ）
A. B. 等差数列
C. D.
8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 除以8所得的余数是7
10. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）
A. 若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有40种
B. 若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同排法共有72种
C. 若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种
D. 若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种
11 若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则_________
13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________.
14. 足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动.某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙3名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外2人中的1人，接球者再等可能地传给另外2人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，经过4次传递后，足球又被传回给甲，则不同的传递方式共有_______种：设在第次传球后有种情况球在甲手中，则_______.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
16. 已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式.
（2）已知，求数列的前项和.
17. 在四棱锥中，平面，，，点M在棱PD上.
（1）证明：；
（2）若，，，和平面所成角的正切值是，求平面和平面夹角的余弦值.
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数，，.
（1）讨论的单调性;
（2）若与有相同的最小值，求实数的值;
（3）设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论.

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