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中考数学（一）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的倒数是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列计算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2025年上半年，国内生产总值亿元，同比增长，其中亿用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 球
5. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. ，且
7. 如图，在等腰中，，作的垂直平分线，交，于D，E两点，，则的长度为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 已知一次函数，（，为常数，且）图象经过点和点，其中且，下列说法中，正确的是（ ）．
A. 若，则函数图象一定经过第三象限
B. 若将函数图象向上平移个单位长度后，与轴交点的纵坐标大于，则
C. 若函数图象与轴交于正半轴，则
D. 若将函数图象向下平移个单位长度后经过原点，则
9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则平行四边形是正方形
C. 在上任取一点，连接，，则
D. 若，分别为边，的中点，点，分别在边，上，则
10. 如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数，不等式恒成立；②若方程的两根为，，则；③若点，，在该函数图象上，则；④关于的方程的两根之和为．则结论正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：______．
12. 如图，在直角三角形中，以O为圆心，为半径画圆，交于D点，在圆上任取一点A，连接，若，则度数为______．
13. 在一个不透明的箱子里，放有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字，0，，2，随机摸出一个，记下数字后放回摇匀，再从中随机摸出一个，则两次摸出数字之积为负数的概率是______．
14. 已知两个非负实数，满足，
（1）z的取值范围是______；
（2）若，则M的最大值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知点坐标为．
（1）画出向左平移三个单位长度，再向上平移两个单位长度后的；
（2）画出以原点O为对称中心的；
（3）在第一象限内有一点D，使得A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出D点坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在四边形中，，在上取一点E，使得，，连接，且为的平分线，若，，求的长．（结果保留根号）
20. 4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会倡议：“推动全民阅读建设书香中国” ．某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读的情况，抽样调查了本校40名学生每周用于课外阅读的时间，并绘制成如下表格：
分组 阅读时间/分钟 频数 组内学生的平均阅读时间/分钟
第1组 9 45
第2组 13 70
第3组 11 105
第4组 7 130
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这40名学生的阅读时间的中位数落在第______组；
（2）求这40名学生的平均阅读时间；
（3）若该校有2100名学生，请估计学生阅读时间低于90分钟的人数．
六、（本题满分12分）
21. 如图，内接于，．
（1）求证：；
（2）若交于点，求证：．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在直角三角形中，E为斜边上异于B，C的一个动点，连接，作，连接，交于F点，若始终保持．
（1）求证：；
（2）若；
（ⅰ）试说明E点在运动的过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由；
（ⅱ）取中点M，连接，求的最小值．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点．
（1）求该二次函数表达式；
（2）如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式；
（3）若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
【11题答案】
【答案】10
【12题答案】
【答案】##30度
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ① ②.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
【15题答案】
【答案】，
【16题答案】
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）或
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）第个等式为，证明见解析
【18题答案】
【答案】（1），；
（2）存在，或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
【19题答案】
【答案】
【20题答案】
【答案】（1）2 （2）这40名学生平均阅读时间为84.5分钟
（3）估计学生阅读时间低于90分钟的人数为1155名
六、（本题满分12分）
【21题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
七、（本题满分12分）
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）是定值，；（ⅱ）2
八、（本题满分14分）
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）面积的最大值为，此时P点坐标为

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