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重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一下学期4月定时检测数学试题
一、单选题
1．已知，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（ ）
A．－5 B． C．－1 D．1
6．在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
8．已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数一定过第一象限
B．函数且的图象过点且不与直线相交
C．函数的定义域为
D．，当时，恒有
10．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数最大值为2
C．将函数的图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数
D．函数的图象关于直线对称
11．平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
三、填空题
12．已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．
13．重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______．
14．已知平面向量，定义线性变换，且满足，则的最小值为______．
四、解答题
15．在中，，点在边上，且．
(1)求和；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为．
(1)求的值和在区间上的单调递减区间；
(2)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
17．已知是定义域为的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)用定义证明在上是增函数：
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角；
(2)若，的周长为，求的面积；
(3)若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值．
19．人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为．
(1)菱形ABCD中，，动点在直线CD上．
（ⅰ）当时，求；
（ⅱ）求的取值范围．
(2)在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有．
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．B
5．C
6．B
7．D
8．B
9．ABD
10．AB
11．ACD
12．
13．
14．
15．（1）由平面向量数量积定义：.
代入，，， 得.
因为点在边上，且,所以是中点，所以.
则 .
故.
（2），
所以 .
.
设向量与的夹角为，则.
16．（1）
由相邻对称轴间距为，得周期.
由，且得，即.
令， 解得.
结合定义域，对整数分类讨论：
取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求；
取时，得区间，与无交集，舍去；
取时，得区间，与无交集，舍去。
同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集.
综上所述，在上的单调递减区间为.
（2）方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， .
令， 在有最大值，最小值.
故.
如图所示：
当时，一个函数值对应个不同；
当或时，一个函数值对应个.
要使有个不等实根，需满足， 解得.
17．（1）由定义在上的奇函数，得，解得，
此时，，
因此函数是奇函数，所以.
（2），，
由函数是上的增函数，得，，
则，即，所以在上是增函数.
（3）由（1）得，由（2）知函数在上是增函数
则，
依题意，对任意，不等式恒成立，
，
当且仅当，即时取等号，则，
所以实数的取值范围是.
18．（1）由，，且，
则，
则由正弦定理得，
又在锐角中，，
则,即，解得．
（2）由，的周长为，则，
又由余弦定理有，
即，得，
所以的面积为．
（3）在中，，不妨设，则，，
由正弦定理有，
得，，
在锐角中，由，则，
由正弦定理有，得，
所以
，
又，则，则，所以，
故，即线段的最大值为．
19．（1）如图：以为原点，建立平面直角坐标系，不妨设（）.
则，，所以
（ⅰ）因为点在直线CD上，当时，，所以.
所以，，，
所以.
（ⅱ）因为点在直线CD上，可设，则.
所以，，.
所以.
设，由，所以函数为奇函数.
当时，（当且仅当时取等号）.
所以.
所以.
（2）因为，
，.
所以.
设，，，.
则，.
问题转化为证明，即.
只需证.
因为不共线，所以，
所以，即成立.
所以成立.

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