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21.2《平行四边形》复习题--平行四边形的性质和判定
题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
1．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ．
2．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ．
3．（25-26九年级上·四川成都·期中）心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ．
4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为 ．
题型二、利用平行四边形的性质求面积
5．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比值是（　　）．
A． B． C． D．
6．如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ．
7．如图，在平行四边形ABCD中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．

8．如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是 ．
题型三、利用平行四边形的性质求动点问题
9．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形．
10．如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
11．如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为．
(1)求的长（用含的代数式表示）．
(2)当四边形是平行四边形时，求的值．
(3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值．
12．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止．
(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
(2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由．
(3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？
题型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
13．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列结论中：①平分；②；③；④．正确结论的个数序号是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
16．如图，在平行四边形中，，于点E，于点F，相交于点H，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤
题型五、证明四边形是平行四边形
17．如图，在中，，是上一点，和 ABC关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形．
18．如下图，，， BCF均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形．
19．如图，已知 ABC是等边三角形，E 为边 上一点，连接．将绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接．求证：四边形是平行四边形．
20．如图， ABC和 ADE都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
题型六、利用平行四边形的判定和性质求解
21．如图，在四边形中，，点在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
22．如图，在 ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若， ABC的面积为8，求 CDF的面积．
23．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长和的长．
24．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．
(1)求证：
．
四边形为平行四边形．
(2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数．
题型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
25．如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
(1)在图1中，，作出 ABC中边上的高；
(2)在图2中，过点作的平行线．
26．如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍；
(2)在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段．
27．如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，在边上找一点O，使平分的面积；
(2)如图2，分别在边上找点P，M，N，作
28．数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P．
(1)通过作图可以得到的依据是______；
(2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹；
(3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数．
题型八、利用平行四边形的判定和性质证明
29．已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，．
(1)求证：；
(2)连接、，求证：四边形为平行四边形．
30．如图，平行四边形ABCD，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．
(1)求证：．
(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．
31．如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长；
(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．
32．如图，在 ABC中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)试猜想与的数量关系并给予证明．
参考答案
题型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
1．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的一个外角为，
∴，
∴．
故答案为：．
2．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
在中，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
在中，
．
故答案为：．
3．
解：由作图过程可知，为的平分线，
．
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
4．1或或
解：①如图 1，当点在上时，
由旋转得，
，
∴是等边三角形，
，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴是等腰三角形，
，
，
∵，
，
；
②如图 2，当点在上时，
，
，
，
∴是等腰三角形，
即当是等腰三角形，时，；
③如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转得，
，
，
过点A作，
则，，
，
，
；
综上所述，或或，
故答案为：1或或．
题型二、利用平行四边形的性质求面积
5．C
解：∵四边形为平行四边形，
∴和关于点O中心对称，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积与的面积比值是．
故选：C．
6．3
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
7．12
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：12．
8．3
解：过E作，交于M，交于N，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
，，
∵阴影部分的面积是3，
∴，
和的面积之和是．
故答案为：3．
题型三、利用平行四边形的性质求动点问题
9．
解：由题意得，，，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得，
故答案为：．
10．18
解：∵和关于点O中心对称，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴过D作，且，连接，，如图，
则四边形是平行四边形，，
∴，
∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，即的最小值为18，
故答案为：18．
11．（1）解：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中：
，
．
由题意得，
．
，
．
（2）解：，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得．
故当四边形是平行四边形时，的值为．
（3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，．
，，
，
．
，
，
易得．
是的垂直平分线，
，．
由勾股定理，得，
即，
（负值已舍去）．
12．（1）解：设秒时两点相遇，
∵在中，，
，
∴的周长，
∴，解得，
∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇；
（2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵，即，
∴，
∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分；
（3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以，
设经过秒，四点可组成平行四边形．
分两种情形：
①当点在点右侧，
如图2：此时，则四边形是平行四边形，
∵DN=t,CM=2t-4，
，
，
解得，
②当点在点与点之间，，解得，
∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形．
题型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
13．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，．
在中：
∴，
∴，．故①②正确．
∵，，
∴，
即，故④正确．
无法确定，故③不正确．
综上所述，正确结论的个数为．
故选：C．
14．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；故②正确；
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵与 ABC等底（）等高（与间的距离相等），
∴，故④正确．
∵
∴
若，则，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
但题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故选：B．
15．B
解：①四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴平分，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③过点作于点，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
由勾股定理得：，
∵，
，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∴，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上所述：所有正确结论的序号是①②④．
故选：B．
16．B
解：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确，符合题意；
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，故②正确，符合题意；
在和中，，
≌，
，，
，
，故③正确，符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
；故④正确，符合题意；
根据已知不能推出，故⑤错误，不符合题意；
综上，正确的有①②③④，
故选：B．
题型五、证明四边形是平行四边形
17．证明：和 ABC关于点O对称，
，
四边形是平行四边形．
18．证明：， BCF为等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
．
又为等边三角形，
，
．
同理可得，
四边形是平行四边形．
19．证明：∵ ABC是等边三角形，
∴，，
又∵ 将绕点 E 旋转得到，
∴．
∴，是等边三角形．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴ 四边形是平行四边形．
20．（1）证明：和 ADE都是等边三角形，
，，，
，即，
；
（2）证明：，
，，
又，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形．
，
是等边三角形，
，
，
，即，
，，
，
四边形是平行四边形．
题型六、利用平行四边形的判定和性质求解
21．（1）证明：，
；
又，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，，
；
，
；
，
，；
，
．
22．（1）证明：，
．
是的中点，
．
在 CDF和 ADE中，
，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，的边上的高与 ABC的边上的高相等，
，
，
．
23．（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平形四边形；
（2）解：∵四边形是平形四边形，
∴，，
∵AC BC，
，
，
，
，
，
．
24．（1）证明：，
．
在和中，
同理可证，
．
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
，
．
，
，
．
题型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
25．（1）解：如图，为所求，
（2）解：如图，为所求，
26．（1）解：在图1中，即为所求；
（2）解：如图，点即为所求：
27．（1）如图1，连接交于点O，
则点O即为所求．
（2）如图2，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接，
则即为所求．
28．（1）解：由作图过程可得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，点P，即为所求作：
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
根据作图痕迹，平分，设，则，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵是等腰三角形，
∴分三种情况：
①当时，则，
由，，
解得，
∴；
②当时，，
由得，
解得，
∴；
③当时，，则，
由得，则，不符合题意，
综上，的度数为或．
题型八、利用平行四边形的判定和性质证明
29．（1）∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
．
30．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，．
31．（1）证明：，，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：；
（3）DG CE，
，
即，
中，，
，
，
，
．
32．（1）解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
又∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，且；
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵是的中点，
∴，
∴；
（3）解：猜想，证明如下：
由（1），，
∴，，
∴．
∵与同高，
∴，
同理可得：．
又，，
∴．

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