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21.2《平行四边形》--平行四边形的性质和判定
一、单选题
1．如图，将平行四边形的边延长，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形的周长为， ABC的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点，在的对角线上，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，，则；③．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
6．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是 ．
7．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ．
8．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ．
如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当 时，四边形是平行四边形．
10．平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ．
三、解答题
11．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足．
(1)求证：；
(2)连接，与互相平分吗？为什么？
12．如下图，点，，，在同一条直线上，，，．
(1)求证：．
(2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
13．如图，在中，是边的中点．设的面积为4，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图①中，画一个面积为2的平行四边形．
(2)在图②中，画一个面积为1的平行四边形．
14．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若 ABC是等边三角形，且，求的长．
15．如图，在 ABC中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，．求的长．
16．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
(1)若，求的度数；
(2)已知，求证：四边形是平行四边形．
17．如下图，为的对角线，的交点，，是上的一动点，是上的一动点（点，不与端点重合）．若，，，连接，．
(1)求线段的长．
(2)若的面积为，的面积为，的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着的增大，的值是如何发生变化的．
18．【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形．
（1）请写出证明过程．
【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积．
19．如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，连接;
①若，求平行四边形的面积；
②设，试求与满足的关系．
20．综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．
分析探究：
（1）如图1，当，当点D/恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：A．
2．B
解：∵平行四边形的周长为，
∴，
∵ ABC的周长为，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
3．D
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
4．D
解：四边形是平行四边形，
，，．
又，
．
的周长为，
，
的周长为．
故选：D．
5．C
解：∵四边形是平行四边形
∴对角线互相平分，即
∵
∴
在和中，
∴
同理可证
此外，还有 ，，，
∴图中共有6对全等三角形，结论①错误；
∵四边形是平行四边形
∴
在中，根据三角形三边关系：
∵
∴，结论②正确
∵
∴
∵
∴
∴
∴，结论③正确
综上所述，正确的结论是②和③．
故选：C．
二、填空题
6．①④
解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
②∵，不能判定，
∴不能判定四边形是平行四边形；
③添加不能判定四边形是平行四边形；
④∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：①④．
7．24
解：与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
．
，，，
，
为直角三角形，，
，
∴
∴四边形的面积为．
故答案为：．
8．56
解：∵四边形是平行四边形，
，．
在 ABC与中，
，
，即．
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
9．6
解：由题意，，
∴，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，解得；
故答案为：6．
10．或或
解：如图，
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，
故答案为：或或．
三、解答题
11．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴.
（2）解：与互相平分．理由：
连接，
∵,
∴,
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
12．（1）证明：，
，
即．
在 ABC与中，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形．理由：
，
．
又，
四边形是平行四边形．
13．（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，即为所求．
14．（1）解：∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴．
15．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
为中点，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
解得（负值舍去），
，
．
16．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
17．（1）解：四边形是平行四边形，
．
，
．
（2）解：的值不变．
如图，连接．
四边形是平行四边形，，
．
，
，
．
，，
，，
，
．
在中，，
．
18．解：（1）证明：在 AOB和中，
，
，
．
同理可得，
四边形是平行四边形．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
与互相平分，
四边形是平行四边形．
（3）由（2）知，四边形是平行四边形，
．
四边形是平行四边形，
，
，
和等底同高，
，
．
19．（1）证明：∵平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
（2）解：①∵，
∴ ADE为等边三角形．
∵，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得：，即，
∴．
∴平行四边形的面积为．
②∵ ADE为等边三角形，，
∴，
∴为等边三角形．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
，
∴．
20．解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，则
由折叠可知：，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴
∵的面积为24，，即：，
∴，
则，
∴．

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