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21.3.1 《矩形》小节复习题
题型一、利用矩形的性质求角度
1．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为 ．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=50 ，，则的度数为 ．
3．如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为 ．
4．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ．
题型二、利用矩形的性质求线段长
5．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ．
6．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，若，，则 ．
7．如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为 ．
8．已知，矩形中为上一点，且为上一点，且，连接，，．若是直角三角形，则的长为 ．
题型三、利用矩形的性质求面积与坐标
9．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ．
10．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ．
题型四、利用矩形的性质求折叠问题
13．如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．
14．如图，在长方形纸片中，点分别在上（端点除外）．连接，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置．若，则 度．
15．如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为 ．
16．如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为 ．
题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
17．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ．
18．如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为 ．
19．如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．
20．如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为 ，线段的最小值为 ．
题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
21．矩形中，平分，，则下列结论
①；
②是等腰三角形；
③；
④，
其中正确结论的序号为
22．如图， ABC是等腰直角三角形，，点D在线段上，过D作于E，于F，点G，H分别是的中点，若，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；②的最小值是；③的面积始终保持不变；④是等腰三角形．
23．如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F，且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；
②四边形是轴对称图形；
③；
④．
24．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是 （只填序号）．
题型七、与矩形的性质与判定有关的作图
25．如图，在长方形中，是对角线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求 BDE的面积．
26．如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，在上找一点，使；
(2)如图2，在上找一点，使．
27．（1）四边形为矩形，中，，请用无刻度的直尺作出的高；
（2）四边形为矩形，，为上的两点，且，请用无刻度的直尺找到的中点．
28．如图，在中，平分交于点，连接．
(1)过点作，垂足为（用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若．
①求证：四边形是矩形；
②若，求的长度．
题型八、矩形的性质与判定的综合问题
29．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
30．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积
31.如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若四边形是菱形，，且，求的面积．
32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上．点在上，过点作分别交轴、轴于点，，过点作交轴于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)连接交轴于点，已知点的坐标为．
①求的长；
②请直接写出点的坐标．
参考答案
题型一、利用矩形的性质求角度
1．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形为矩形，
∴，．
∴，．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
2．102.5°
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
3．
解：∵在矩形中，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由矩形的性质可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．124°
解：四边形是矩形，
．
，
．
又，
．
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
题型二、利用矩形的性质求线段长
5．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
的周长为．
故答案为：．
6．8
解：连接，
∵四边形是矩形，对角线、相交于点O，
∴，，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．2
解：∵矩形中，对角线相交于点O，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：2．
8．或
解：如图，设的长为，
∵四边形是矩形，
∴，，．
由，得；
由，得．
在中，；
在中，；
在中，．
①若，则，
即，解得；
此时，符合题意．
②若，则，
即，化简得，
∵判别式，
∴该方程无实数根，此情况不存在．
③若，则，
即，
解得；
此时，符合题意．
综上，的长为或．
故答案为：或．
题型三、利用矩形的性质求面积与坐标
9．6
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又
∴，
∴
∴
，
故答案为：6．
10．12
解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形．
∴，，，，，，
，
．
故答案为：．
11．
解：∵四边形是矩形，
，
，
，
∴点的坐标为，
故答案为：．
12．或或
解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，
∴，
过作于，
①当时，如图1所示：
，，
由勾股定理得：，
；
②当时，
如图2所示：
，，
由勾股定理得：，
，
；
如图3所示：
，，
由勾股定理得：，
，
；
综上，满足题意的点的坐标为或或，
故答案为：或或．
题型四、利用矩形的性质求折叠问题
13．或
解：设，由折叠性质得：，，，
矩形中，，，则．
情况1：，
，即、、三点共线．
在中，由勾股定理得：
，
在中，，
，
解得，，
；
情况2：，则，
，
，
四边形为矩形，
，
故四边形为正方形，
情况3：当时，此时点与点重合，此时，这显然不成立，不存在此种情况．
综上，当为直角三角形时，的长为或．
故答案为：或
14．或
解：如图，由折叠可得，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在上方时，
如图，由折叠可得，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
15．1或
解：是边的中点，
，
当时，如下图：
，
，
矩形沿折叠，使点B落在点处，
，
在矩形中，，
，
，
；
当时，如下图：
矩形沿折叠，使点B落在点处，
，
，
∴点E，点，点C三点共线，
在中，，
，
，
，
，
解得，
综上所述，或，
故答案为：或1．
16．或
解：∵将沿折叠，点落在点处，
∴，
∵矩形中，，，
∴
∴
①如图，当时，
∵
∴
过作，交于，交于，则垂直平分，垂直平分，
在中，
∴，
又∵
∴
设，则，
在中，
∴
解得：
②当时，
∵，
在中，，不合题意，
③当时，如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，
∵，
在中，
∴
设，则，，则
在中，，
∴
解得：
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或
故答案为：或．
题型五、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
17．
解：点D，E，F分别是的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
故答案：．
18．
解：连接，
四边形是矩形，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
，
的最小值即为的最小值，
当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，
四边形是矩形，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
19．
解：∵在中，，，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时取最小值，则四边形周长取最小值， 过点G作于点，
由对称可得，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的周长．
故答案为：．
20．
解：作点关于的对称点，连接、、，过作，交延长线于，
∵点与关于对称，
∴，，．
∵，，，
∴四边形是矩形．
∴，．
∴．
在中，
，
∵，
∴的最小值为．
过作于，过作于．
∵，，，
∴四边形是矩形．
∴，．
∴，
∵ FDE是等腰直角三角形，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴(AAS)．
∴，
∴即点在过点且垂直于的直线上，
当时，取最小值．
∵，，，
∴四边形是矩形．
∴．
故答案为：，．
题型六、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
21．①②④
解：四边形为矩形，
∴∠ADC+∠BCD=90 ，，
平分，
，
，
，
∴为等边三角形，
，
，故①正确，符合题意；
∵为等边三角形，
，
又，，
∴为等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰三角形，故②正确，符合题意；
，，
，
，，
，
，故③错误，不符合题意；
，
，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④．
22．①④
解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
即，故①正确；
如图，连接，
∵点G，H分别是的中点， ABC是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴点G，D，A三点共线，，且，
∴，
∴当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是，故②错误；
∵四边形是矩形，
∴，
∵ ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴ BDE是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴的面积为，
∴的面积随x的变化而变化，故③错误；
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确．
故答案为：①④
23．①②③
解：①∵四边形是矩形，，分别平分，，
∴，
∴，
∴；
②连接，如图所示，
由①知，是等腰直角三角形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是以为对称轴的轴对称图形；
③延长、相交于点H，如图所示，
∵四边形是矩形，，分别平分，，
∴，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由①得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由②知，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
④取的中点M，连接，如图所示，
∵四边形是矩形，，
∴，
由③知，，
∴，
∴点O为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
由③得，，，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：①②③．
24．①③⑤
解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，故①正确；
②由①可得：，
∴，
∵，
∴，故②错误；
③∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可得：为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，故③正确；
④如图，作于，于，
，
∵，
∴，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，且，，
∴，故④错误；
⑤在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理可得，故⑤正确；
综上所述，正确的有①③⑤；
故答案为：①③⑤．
题型七、与矩形的性质与判定有关的作图
25．（1）解：如图所示：
点即为所求；
（2）解：如图所示：
由（1）中的作图过程可知，，
，
在长方形中，，则，
，
在和中，
，
，
，
在长方形中，，则，
设，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
即，
解得，
，
．
26．（1）解：点F即为所求；
（2）解：点即为所求
27．解：（1）如图1，EH为所作；
（2）如图2，点P为所作．
28．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
②∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
由①得，四边形是矩形，
∴．
题型八、矩形的性质与判定的综合问题
29．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，又，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积，
∴，
∴．
30．（1）证明：∵是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
31．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
（2）解：过点E作于H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴即，
∴，，
∴，
∴．
32．（1）证明：，，
．
，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①∵四边形为矩形，点的坐标为，
，，，，
，．
由（1）知，四边形是矩形，
，，
，
．
在和中，
，
．
②由（2）①知，，
．
∵四边形为矩形，对角线，交于点，
，
，
点的坐标为．

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