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21.3.1 矩形
一、单选题
1．如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（ ）
A． B．4 C． D．
5．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（ ）个．
①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为 ．
7．如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ．
8．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则 ，的最大值是 ．
9．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点且在第一象限，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为 ．
三、解答题
11．已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，．
(1)求的度数；
(2)求矩形的面积．
12．期中）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长．
13．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
14．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作，交于点，过点作于点，过点作，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
15．如图，在 ABC中，，是 ABC的一条角平分线，为 ABC的外角的平分线，，垂足为E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积．
16．如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒．
(1)用含有的代数式表示的长；
(2)当时，求的长度；
(3)①当是等腰三角形时，直接写出的值；
②当是直角三角形时，直接写出的值．
17．在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处．
(1)若为线段上一点．
①如图1，当点落在边上时，求的长；
②如图2，连接，若，则与有何数量关系 请说明理由；
(2)当为直角三角形时，的长为 ．
18．教材再现：
(1)如图1，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_____．
知识应用：
(2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边 ABC外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，求出 ABC的面积．
参考答案
一、单选题
1．B
解：由题意知，，
∴，
∴矩形对角线的长为2．
故选：B ．
2．C
解：①∵四边形是平行四边形，
∴，无法判定其为矩形；
②∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为矩形；
③∵，四边形是平行四边形，
∴为矩形；
④∵，
∴∠B=90 ，
∵四边形是平行四边形，
∴为矩形；
综上，能够判定为矩形的有个．
故选：C．
3．A
解：∵ 矩形的对角线，交于点O，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，设为，
由勾股定理可得：，即，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，四边形内角和是，
∴， 故①正确；
过作，，分别交于，交于，如图所示：
∵，
∴， 即，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
延长交于，延长交于，
根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离，
∵，，
∴，，
∴，，
由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确；
在直角三角形中，，当点重合时最大，
∵，
∴，故④正确，
故选：D．
二、填空题
6．
解：∵是矩形对角线的中点，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
则
∴，
故答案为：．
7．
解：四边形是矩形，
，
，
，
∵，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∴的度数为．
故答案为：．
8．
解：如图，连接、，
∵四边形是矩形，
∴，，
在直角中，，
∵点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴当点与点重合时，取得最大值，此时，
∴的最大值为．
故答案为：；．
9．4或6或8
解：设，则．
①如图①，当，且时，可证得，
．
，
解得．
②如图②，当，且时，过点作于点，
在 和 中，
∴，
，
，
解得．
③如图③，当，且时，过点作于点，
在和中，
，
，，四边形是矩形，
，即，
解得．
综上，的长为或或．
故答案为：或或．
10．，或
解：∵，，
∴，，
如图，过点P作轴于点C，
则，，，
又轴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
当时，
若是锐角三角形，如图，
，
∴，
∴此时，
∴点P的坐标为；
若是钝角三角形，为钝角，如图，
在中，，
∴；
∴点P的坐标为；
当时，
若为锐角三角形，如图，
则，
此时，
∴点P的坐标为；
若为钝角三角形，则为钝角，
此时点在第二象限，不符合；
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为，或，
故答案为：，或．
三、解答题
11．（1）解：根据矩形性质，，且对角线互相平分，
即，
，在中，，
；
（2）解：∵在中，，
，
根据勾股定理得：．
矩形面积为：．
12．（1）如图，点E即为所求；
（2）四边形ABCD是矩形，
，，，
由折叠可得，，
，
，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
13．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴为斜边的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积=．
14．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
如图，过点D作于点，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
15．（1）证明：，是角平分线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
即，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∴，，
∴矩形的面积．
16．（1）解：当时，，
当时，；
（2）过点作于点，如图，
当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）①由勾股定理可知，
当时，，
当即时，即，解得或（不合题意，舍去）；
当即时，即，解得；
当时，即，解得；
当时，，
∵是等腰三角形，
∴，即
解得，
综上可知，当是等腰三角形时，的值为或或或；
②当时，，
∵是直角三角形，
∴或，
当时，，
∴，即
∴，
解得，
当时，，即，
解得，
当时，，
∵是直角三角形，
∴点与点重合，
∴，
综上可知，当是直角三角形时，的值为或或．
17．（1）解：①由题意可知，，
在中，，，
则
因为，
所以；
②
由题意可知，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵（翻折性质），
∴，
∴；
（2）第一种可能：
当点在上并且时：
即为直角三角形，
设，则，
由①，
∵，
∴
解得，即，
第二种可能：
当点在上时：
折叠性质可知，
∴,
∴为直角三角形
∵，,
∴
设,
∵
∴
解得
第三种可能：
当点在延长线上时, 使为直角三角形，则点在延长线上，
∵，，
∴在中,
则，
由折叠性质得
设则
∵在中
∴
解得，即
第四种可能：
当点在延长线上并且时，为直角三角形，
此时由折叠性质得
又∵
∴四边形为正方形
∴
所以的长为5或或20或10．
18．（1）解：如图1，记与的交点为O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：的周长是定值，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴的周长是定值，值为24；
（3）解：∵等边 ABC，
∴，，
如图3，连接，作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ABC的面积为．

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