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21.3.2《菱形》小节复习题
题型一、利用菱形的性质求解
1．如图，是菱形的对角线，在上截取，使得，连接，若，则的度数为 ．
2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ．
3．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是 ．
4.如图，菱形的对角线，相交于点，，，点是边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
题型二、利用菱形的性质求解折叠问题
5.如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为 ．
6．如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到 FOE，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ．
7．如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当 时，P、、D三点共线．
8．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ．
题型三、利用菱形的性质求解动点问题
9．如图，在菱形中，，边长，点是边的中点，点是边上一动点，点是对角线上一动点，连接，求最小值为 ．
10．如图，在菱形中，，，为边边上的一个动点，为上的一个动点，则的最小值为
11．如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是 cm．

12．如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．

题型四、利用菱形的性质证明与求解综合
13．如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处．
(1)求证：；
(2)若，求菱形的边长．
14．如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
15．如图，四边形是菱形，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为，，求的长．
16．如图：四边形中，，，垂足为，点在线段的延长线上，且，连接，．
(1)如图1，当，时．
①求证：；
②猜想与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当，不垂直时，②中与的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程，若不成立，请说明理由．
题型五、利用菱形的判定与性质求解
17．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ．
18．如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为 ．
19．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ．
20．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ．
题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题
21．如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②；
③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍；
④四边形的周长等于四边形的周长．
22．如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是 ．
23．如图，在菱形中，，对角线相交于点，一块三角板（）的直角顶点恰好是的中点，连接．现给出以下结论：
① ABC是等边三角形；
②；
③；
④．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
24．如图，在菱形中，，对角线相交于点是对角线上的一动点，作于点，PN AD于点，给出下面四个结论：①为等边三角形；②；③；④上述结论中，正确结论的序号有 ．
题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题
25．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
26．如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的面积．
27．如图，在矩形中，，．
(1)如图1，过对角线中点作，分别交，于点，，连接，，求证：四边形为菱形；
(2)求图1中线段的长；
(3)如图2，矩形内有一点，连接，，延长交于点，若，，求的长．
28．如图1，矩形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接是的中点，连接．
(1)①试猜想四边形OCHD的形状，并说明理由．
②若，则四边形OCHD的面积为________．
(2)如图2，将图1中的矩形改为正方形，其他条件不变．若正方形的面积为16，求四边形OCHD的面积．
题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）
29．如图，四边形是矩形（）．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接、，求证：四边形是菱形．
30．如图，在中，，点为斜边上一点，连接，分别过点、作、的平行线相交于点．
(1)在不添加新的点和线段的前提下，请增加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由；
(2)在（）的条件下，尺规作图：求作点，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
31．如图，在四边形中，，，对角线交于点O．
(1)下列条件：①；②；③．请选择条件：______（填写序号），使得四边形为菱形，并说明理由；
(2)尺规作图：已知，请在上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
32．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）；
(2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形．
参考答案
题型一、利用菱形的性质求解
1．
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
2．
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
3．24
解：如图所示，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴该菱形的面积是
故答案为：24．
4．
解：∵四边形是菱形， ，，
∴，，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，
连接，则，
当时，取最小值，此时的值最小，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
题型二、利用菱形的性质求解折叠问题
5．
解：如图，连接，设与交于点，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵垂直平分，
∴平分，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴．
故答案为：．
6．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．或
解：当P，，D三点共线时，分两种情况：
①当D在线段上时，
如图，连接，
∵沿翻折至，
∴，
∴，
设，
∵四边形为菱形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵P在菱形的对角线上，
∴，
∴，
又∵，
而，
∴，
∴；
②当D在延长线上时，
如图，连接，，
同上，设，
∵，
∴，
又∵P在菱形的对角线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当或时，P、、D三点共线，
故答案为：或．
8．6或7
①当落在上时，如图，
∵菱形中，，边长为8，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
当落在上时，如图：
作交的延长线于点，作于点，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，
∴；
综上：或；
故答案为：6或7．
题型三、利用菱形的性质求解动点问题
9．
解：如图，作点关于对称点，连接，则，
∴，
当时，取最小值，
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴，
即最小值为，
故答案为：．
10．
解：如图，连接，
∵垂直平分
∴
∴
∴的最小值为
过点作于点，交于点，
∴当在上时，最小，最小值为，
在中，，，
∴，
故答案为：．
11．5
解：如图，连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵时，线最小，最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
12．3
解：如图，连接，取的中点，连接，

四边形是菱形，，
，
是等边三角形
，
为等边三角形，
点是上靠近点的四等分点，
的面积最小时，的面积也最小
当最小时，的面积最小
当时，最小
是等边三角形，
点是上的动点，
当点与点重合时，最小
的最小值为
故答案为：
题型四、利用菱形的性质证明与求解综合
13．（1）证明：由折叠的性质得，
∵在菱形中，，
∴，
∵点恰好落在的延长线上，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折叠的性质得，，
∵在菱形中，，，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∴菱形的边长为．
14．（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
15．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
∵，
∴，
∵菱形的边长为，即，
∴．
16．（1）①证明：，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，
；
②解：，理由如下：
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
，，
，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
是的外角，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
；
（2）解：成立，理由如下，
如图，在的延长线上取点使，
，
，
，，
是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
是的外角，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
，，
，
．
题型五、利用菱形的判定与性质求解
17．
解：根据作图可得，
∴四边形是菱形， ABC和是等边三角形，
∴平分，，
∴，
故答案为：．
18．
解：由作图可得：平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
19．
解：、、、分别是边、、、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
．
故答案为：．
20．
解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示：
依题意得：，
四边形是平行四边形，
蓝丝带宽为，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
，
平行四边形是菱形，
重叠部分图形的面积是：，
故答案为：．
题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题
21．①②④
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
同理四边形是菱形，
∴图中有3个菱形，菱形、菱形、菱形，故①正确；
∴，，又，
∴，故②正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵平行四边形和菱形等高，
∴要使四边形的面积等于四边形面积的2倍，
则需要，故③错误；
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
同理，
∴四边形的周长四边形的周长，故④正确；
故答案为：①②④．
22．①②③
解：∵四边形是菱形，
∴，，又，
∴是等边三角形，
∴，，又，
∴，故①正确；
∴，
∴，
即的大小为定值，故②正确；
过C作于M，交延长线于N，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即平分，故③正确；
∴，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故答案为：①②③．
23．①②④
解：∵在菱形中，，
∴，，，，，
∴为等边三角形，为等边三角形，故①符合题意；
∴，
∵，
∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠DAF，
∴，故②符合题意；
如图，记的交点为，
∵∠4=∠AEF=90 ，
∴∠1+∠AEO=90 =∠3+∠AEO，
∴，
∵∠AEB=∠4+∠3=90 +∠3,∠AOF=∠AOD+∠DOF=90 +∠1+∠OFE，
∴∠∠AEB≠∠AOF，故③不符合题意；
取的中点，连接并延长交于，连接，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，而，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，而，
∴三点共线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
∴，故④符合题意；
故答案为：①②④.
24．①③④
解：①四边形是菱形，，
，，，，，，
是等边三角形，故结论①正确；
②设，则，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
又，
，故结论②不正确；
③，，
，
根据四边形的内角和等于得：，
，
，故结论③正确，
④连接，如图所示：
设，则，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题
25．（1）证明：∵点为的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
又∵点为的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是菱形，
∴菱形的面积为：．
26．（1）解：证明：，
．
为的平分线，
，
，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
．
，
．
，
，
菱形的面积为．
故答案为：4．
27．（1）证明：四边形是矩形，是中点，
，，，
，
又，，
，，，
，
；
四边形是平行四边形
，
四边形为菱形；
（2）解：四边形为菱形，
，
在中，，
即
解得
（3）解：，
，
，
．
又，
，，
．
设的长为，则的长为，的长为，
在中，由勾股定理得，，
解得，即的长为．
28．（1）①解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
又，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵点H是中点，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②解：∵四边形是矩形，
∴，
由中点的性质，可知，
∵，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
由菱形的对称性可知，，
∴四边形的面积为；
（2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质，
∴（1）中的结论仍成立，
由（1）可知，，，
∴四边形的面积为．
题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）
29．（1）解：如图，为所作；
（2）证明：如图，设交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，∠B=90 ，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和 AFO中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
30．（1）解：点为中点，
证明如下：∵，，
∴四边形是平行四边形，
在中，点为中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（或或），
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
其他证法相同；
（2）解：如图所示：点为所求，
理由：∵点为中点，
∴，
由作图可知，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
31．（1）解：可选择①或③．若选①：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
若选③：．
理由：∵，，
∴是的垂直平分线，即，
∴，
在 AOB和中，，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，点P即为所求．
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线．即，
∴，
∵是的中线，
∴．
32．（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，矩形即为所求．

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