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21.3.2菱形
一、单选题
1．已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．11 C．16 D．9
2．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，连接，点E在上，连接交于点F，作于点G，，，若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为 ．
7．如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为 ．
8．如图，菱形的边长为4，E，F分别是边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③若，则；④．其中正确的有 ．（填序号）
9．已知四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点，为菱形边上的一点，且是以为斜边的直角三角形，那么的长度为 ．
10．如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为 ．
三、解答题
11．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
12．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长．
13．请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图，点是菱形边上一点，连接．求作，使，且点在边上；
(2)如图，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使；
(3)如图3，四边形中，，，平分线交边于点，求作线段的中点．
14．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
15．已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠．
(1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，．
①判断四边形的形状，并证明你的结论；
②若，，求折痕的长；
(2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且．
①求证：；
②若，，求的长．
16.在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接，
(1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．
(2)如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．
②直接写出的最小值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半，
∴该菱形的面积=，
故选：A．
2．A
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
3．C
解：选择①②③：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴不能判断四边形是菱形，
∴选法不正确；
选择①②④：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴选法正确；
选择①③④：
同理可证：，得到四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴选法正确；
选择②③④：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴选法正确；
故选：C．
4．C
解：连接：

∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，， ，
∵为的中点，
∴为的平分线，，
∴，
∴由折叠的性质得到，在中，．
故选：C．
5．A
解：如图，连接，交于点，
设，，则，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴平分．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴．
在中，
由勾股定理得，，
故设，，则，
在中，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴．
故选：A．
二、填空题
6．3
解：∵四边形是菱形，
∴，是的中点．
∵菱形的周长为，
∴．
又∵为的中点，
∴在中，是中位线，
∴．
故答案为：3．
7．24
解：在菱形中，，
∵为的中点，
∴，
∵，分别为，的中点，且，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
菱形的面积为．
故答案为：24．
8．①②④
解：①∵四边形为菱形，且，
∴，
∴ ABC和是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴ BEC≌ AFC（SAS），
故①正确；
②由①得，
∴，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
故②正确；
③如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵四边形为菱形，且边长为4，
∴平分，，
∴，，
∴，
∴，
故③错误，不符合题意；
④由①得，
∴，
又∵，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
综上，正确的选项为①②④，
故答案为：①②④．
9．或
解：如图，，为直角三角形，
四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点，
，
∴是等边三角形，
；
如图，于点，连接
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴ ， ，
综上，的长为或
故答案为：或．
10．或
解：四边形是菱形，，，
，，
分两种情况： 如图，当点在上时，点与点重合时，此时为等边三角形，
由折叠可得，，
，
在中，；
②如图，当点在延长线上时，当为等边三角形时，，
，
由折叠可得，，
，
在中，．
故答案为：或．
三、解答题
11．（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴，
∵在中，
∴根据勾股定理，，
∴CF的长是．
12．（1）解：（秒），（秒）．
当运动时间为t（）时，，，，，
根据题意得：，
解得：t，
∴当四边形是矩形时，t的值为．
故答案为：；
（2）解：当四边形为菱形时，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
答：的长为．
13．（1）解：如图，为所求；
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴（），
∴，
又∵，，
∴（），
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴（），
∴；
（2）解：如图，点为所求；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴（）
∴；
（3）解：如图点为所求；
∵，
连接交于点，作射线交于点
∵平分，
∴
又∵，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点是的中点．
14．（1）解：连接与交于点，
∵平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，平行四边形是菱形，
∴，
∴，即，
∴菱形的面积是．
15．（1）①四边形是菱形．
证明如下：
由折叠的性质，得，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
②四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，
，
，解得，
，
，
．
（2）①四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
②设，
，
，
∵B/C=8，
，
由折叠的性质，得，，
，
，
，
，
，解得，
．
16．（1）解：四边形是菱形，
理由如下：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵将沿翻折使B的对应点落在中点上，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：①如图2，连接，在上截取，连接，连接，并延长，交于点N，过点C作直线于H，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
当时，，
∴，
∴；
当时，过点M作于Q，过点G作于P，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
综上所述：的长为3或，
②由（2）①可知：点G在上运动，且，与的距离为，
∴当点G与点H重合时，的最小值为．

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