资源简介

21.3.3《正方形》小节复习题
题型一、利用正方形的性质求角度
1．如图，是正方形的对角线上一点，且，连接，则的度数是 ．
2．如图，在正方形的右侧作等边三角形，则的度数是 ．
3．如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为 ．
4．点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为 ．
题型二、利用正方形的性质求线段长
5．如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ．
6．如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．

7．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为 ．
8．如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为 ．
题型三、利用正方形的性质求面积
9．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ．
10．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为 ．
11．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为 ．
12．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ．
题型四、利用正方形的性质求折叠问题
13．如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为 ．
14．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ．
15．如图，正方形中，，点E在边上，且．将 ADE沿对折至，延长交边于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
16．已知正方形的边长是，点E是边上一点，把沿折叠，若点B的对应点落在正方形的对角线上，则线段的长是 ．
题型五、根据正方形的性质证明与求解
17．如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F．
(1)证明：；
(2)如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
18．问题提出
（1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：；
问题解决
（2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且AE GF于点．若，求小路的最小值．（小路的宽度均忽略不计）
19．问题发现：
（1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图，若与交于点，连接，若，求证：．
迁移运用：
（2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值．
20．在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
(1)观察发现
如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________；
(2)类比探究
在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：；
(3)拓展应用
如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长．
题型六、根据正方形的性质与判定求解
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，则 ，点的坐标为 ．
22．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ．
23．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ．
24．如图，在中，点D为边上的点，将沿折叠，使点A落在点E处，连接，已知，，则当 BDE为直角三角形时，的长为 ．
题型七、正方形的性质与判定的综合问题
25．如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
26．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形．
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出的最小值．
27．如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形．
(2)如图②，当点E在线段AC上时，
①若，，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________．
28．已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
29．如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在上作出点E，使；
(2)在图2中，在的延长线上作出点F，使．
30．如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，画出的中点；
(2)在图2中，画出的中点．
31．如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图①中，作出边的中点P；
(2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形．
32．如图，在正方形中，为中点．
(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在上方过点作，使，交的延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
参考答案
题型一、利用正方形的性质求角度
1．
解：在正方形中，
则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
2．
解：四边形为正方形，为等边三角形，
∴∠ADC=∠BCD=90 ，，，
∴ ADE，为等腰三角形，
，，
，，
，
故答案为：．
3．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．或
解：由正方形得：，
当为等腰三角形时，有，分类讨论：
①当时，如图所示：
，
，
，
；
②当时，如图所示：
，
，
，
；
③当时，点与重合，
点不与端点、重合，
当时不合题意，故舍去．
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
题型二、利用正方形的性质求线段长
5．
解：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∴，
即，
∵，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
6．
解：如图，以为对角线画正方形，延长交于点H，

∴，得矩形，
∴
在中，
∴
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
7．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．1或2或
解：根据题意，可知：在正方形中，，点E是边的中点，
∴，，．
当时，设，
∴．
，，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
综上所述，的长为1或2或 ．
故答案为：1或2或
题型三、利用正方形的性质求面积
9．
解：过点作于点，如图所示，
则．
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积，
∴菱形与正方形的面积之比．
故答案为：．
10．
解：连接，，
由题意知：四边形，四边形都是正方形，
，，，，
，
△△，
，
，
．
故答案为：．
11．20
解：如图：
设，，
∴，
∵四边形、四边形和都是正方形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
∴≌，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：20．
12．
解： ∵正方形和正方形的边长分别为a、b，
∴，
∴
，
∵．
∴，
故答案为：．
题型四、利用正方形的性质求折叠问题
13．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴；
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
14．
解：∵正方形的边长为8，，
∴，，，
由折叠的性质得，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
解得，
即．
故答案为：．
15．②④
解：∵正方形，，
∴，，
∵折叠，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故①错误；
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∴；故③错误；
∵，
∴；故④正确；
故答案为：②④．
16．或
解：∵正方形的边长为4，
∴，，
∴，
当点B的对应点落在上时，如图：
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点与点重合时，此时与点重合，满足题意，如图，
∴；
综上：或；
故答案为：或．
题型五、根据正方形的性质证明与求解
17．（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：；
理由如下：
在菱形中，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
18．（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过作，过作，两条平行线交于点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，
过作交于，而，
∴，，
同理可得：四边形是平行四边形，
∴，
结合（1）可得：，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
19．（1）①解：由翻折可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴（），
∴；
②证明：∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∵由翻折可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（）；
（2）解：延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O，
根据折叠的性质可得垂直平分，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
故答案为：，；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴在四边形中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：线段的长为2或8．
连接，设，
∵，
∴，，
在中，，
当点Q落在线段上时，如图，
此时，
在中，，
在中，，
则，
解得，
∴；
当点Q在延长线上时，如图，
此时，
在中，，
在中，，
则，
解得，
∴；
综上，线段的长为2或8．
题型六、根据正方形的性质与判定求解
21．
解：∵点，点，
∴，，
∴
如图，过点C作，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
22．
解：由题意知，直线垂直平分，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
又∵，
∴四边形为正方形；
∵，
又∵，
∴，
解得．
故答案为： ．
23．
解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
解得：（负值舍去），
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
24．或
解：∵，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∵ BDE为直角三角形，
∴或或，
①当时，
∵，
∴，
∴C、E、B共线，
如图，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∴，
而，，，
故此种情况不合题意；
③当时，
由折叠，
∴，，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
综上，的长为或，
故答案为：或．
题型七、正方形的性质与判定的综合问题
25．（1）解：∵过点B作于点E．过点D作于点F，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．（1）证明：如图，过作于点，过作于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是正方形对角线的一点，
∴，
，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）解：是定值，定值为，理由如下：
∵矩形为正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
在 ADE和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，定值为．
（3）解：∵矩形为正方形，
∴，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
此时，有最小值，
由（2）知，
∴的最小值为．
27．（1）证明：如图①，过点E作，交DC的延长线于点P，，交BC的延长线于点Q，则四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形为正方形，．
∵，
∴，
∴．
在和中:
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）解：①如图②，在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴点F与点C重合，此时是等腰直角三角形，
∴矩形是正方形，．
②分以下两种情况讨论：①如图③，当与的夹角为时，．
∵，
∴．
∵，
∴；
②如图④，当与的夹角为时，
∵，
∴．
综上所述，当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数为或．
28．（1）解：根据题意画图如图；
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形为正方形，证明如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
在上截取，连接，则，
∵，，
∴，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（3）解：①当点在线段上时，
由（2）知四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
②当点在延长线上时，延长至，使得，连接，
∵，，且，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，即．
延长至点，使，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
结合，可得，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形．
，
综上所述，线段的长为或．
题型八、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
29．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所作．
30．（1）解：如图点为所作中点
（2）解：如图点为所作中点
31．（1）解：如图所示点P为所求：
∵点E是的中点，点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵在正方形中，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴点P为边的中点；
（2）解：如图所示，正方形为所求：
由（1）知四边形是矩形，是的中位线，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴所在直线垂直平分，
∵，
∴所在直线垂直平分，所在直线垂直平分，
∴所在直线是正方形的对称轴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是正方形，且边长都相等，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
设正方形的边长为，则，正方形的面积为，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形的面积等于正方形面积一半．
32．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：连接．
四边形为正方形，，
，
，
在与中，
，
．
为中点，
，
，
在中，．

展开更多......

收起↑