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第20章《勾股定理》章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7
2．如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使 ABC为直角三角形，则点的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（ ）
A．5 B． C． D．6
8．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4
9．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．已知点，，，且，则__________．
12．在 ABC中，，，，当、、满足___________时，．
13．如图， ABC的三条边，，，，则______．
14．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为______．（结果用含的式子表示）

15．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____．
16．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（n为正整数），则点的坐标为__________．

17．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ．
（1）一根长7 的木棒能否放入盒子里？__________（选填“能”或“不能”）
（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ．
18．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形，经测量，，，，，．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．
三、解答题（8小题，共64分）
19．如图，O是数轴的原点，过点O作数轴的垂线，请用圆规和无刻度直尺在数轴上作出表示的点A（保留作图痕迹），写出作法，并说明理由．

20．如图，，，，，∠B=90 ，求四边形的面积．
21．猜想直角三角形的三边关系：
图中每个小方格子都是边长为1的小正方形．
(1) ， ， ．
(2) ， ， ．
(3)的关系是： ．
22．阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点，它们之间的距离．
(1)已知，，试求，两点间的距离．
(2)已知各顶点的坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由．
23．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．

(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？
24．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离；
(2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭．
25．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．
(1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积．
(3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．

(1)定理证明：
图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：
如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π）
参考答案
一、选择题
1．A
解：A．，可得，能构成直角三角形；
B．，，不能构成直角三角形；
C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形；
D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形．
2．B
解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形．
故选：B．
3．A
由勾股定理得，，
∴，
∵点表示的数是，
∴点表示的数是，
故选：．
4．D
在中，，，，
以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，
故选：D．
5．C
解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米，
∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度，
过作交半圆于、两点，连接与，
∵，
∴为的中线，
∴，即为卡车的最大宽度，
∵是半圆的直径，
∴米，
∴米，
∴米，
即卡车的宽度不得宽于米，
故选：C．
6．A
解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、，
整理得：，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．C
解：连接，如图，
由题意得，，
∴在中，
，
∴按此手势解锁一次手指滑过的路径长为
，
故选C．
8．C
解：当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，3，6时，围成的三角形面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，
∵，
因为当选取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四种情况时，都不能构成直角三角形，
∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，3，6．
故选：C．
9．B
解：连接AC
在 ABC中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B

10．D
解：过作于，如图所示：
在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
二、填空题
11．7或
如图，过点A分别作x轴、y轴的垂线段，
根据题意得，
，且点B在y轴上，
在中，
即t=7；
在中，
即t=-1，
综上所述，t=7或，
故答案为：t=7或．
12．
解：∵，
∴为斜边，和为直角边，
如图所示：
∵在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
∴当a、b、c满足时，．
故答案为：．
13．
∵，，，
且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：如图所示，为等腰直角三角形，

则．
，
即，
同理可得：，
，
故答案为：．
15．58
解：如图，作于点，则，
四边形、四边形、四边形都是正方形，
，，，
，
，
，，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
∵S四边形HBAJ+S FCK =37，
，
，，
，
，
，
①，
，
②，
由①②得，
，
，
故答案为：．
16．
解：解：由题意可得，，，
，
，
，
…
，
∵每一次都旋转，，
∴每8次变化为一个循环组，
，
∴点是第253组的第7次变换对应的点，与点一样同在x轴正半轴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
17． 能
如图，
长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5
∴
（1）在中，
在中，
∴一根长7的木棒能放入盒子里．
故答案为：能；
（2）①如图1，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：；
②如图2，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：；
③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：．
∴蚂蚁爬行的最短路程是.
故答案为：．
18．3600
如图，连接AC
∵，，∠B=90
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴四边形面积为：
∵草坪每平方米100元
∴铺满这块空地需花：元，
故答案为：3600．
三、解答题
19．解：在数轴上取到1的长度为，以O为圆心，长为半径，画弧，交于点N，连接，以O为圆心，长为半径，画弧，交数轴正半轴于点A，则点A即为所求．

由作图可知：，
∴；
∴点即为所求．
20．解：：∵∠B=90 ，
∴，
∵，
∴是直角三角形，，
∴四边形的面积的面积的面积．
21．（1）解：由图可得，，
故答案为：3，4，5；
（2）解：由图可知，
，，，
故答案为：9，16，25；
（3）解：∵，
∴的关系是，
故答案为：．
22．（1）解：根据两点的距离公式得，；
（2）为等腰三角形．
理由：，，，，，，
，
，
，
，
为等腰三角形．
23．（1）根据题意，，，
∵，
∴，
解得，
故的长度为3米．
（2）根据(1)得，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
且，
∴，
故有危险．
24．（1）解：如图所示，过点C作于D，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：飞机距离着火点C的最短距离为；
（2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
∴，
，且，
∴着火点C不能被飞机扑灭，
答：着火点C不能被飞机扑灭．
25．（1）∵，，
∴
∵将沿折叠，点C落在点处
∴，，
∴
设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为；
（2）∵
∴
∵沿将折叠得，
∴
∴
∴
设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴的面积；
（3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F，
∵，
∴
∴四边形是长方形
∴
当时，
∴，
由折叠得，
∴
∴
∴设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为；
当时，
∴，
由折叠得，
∴
∴
∴设，则
∴在中，
∴
解得
∴
∴
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
26．（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积，
，
，
；
（2）画出圆柱侧面展开图：

根据圆柱底面半径为，得出，
高为，
，
从点爬到点的最短路程是厘米．

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